טוען את הטאבים...

תרגיל

הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי לכל $n$ טבעי מתקיים $1^{2} + 2^{2} + \dots + (2 n)^{2} = \frac{n (2 n + 1) (4 n + 1)}{3}$ (ארבע איברים מוצגים *!).

הבע באמצעות  $n$  את הסכום:  $(2 \cdot 3)^{2} + (2 \cdot 4)^{2} + \dots + (2 \cdot 2 n)^{2}$

נושאים

אינדוקציה,חישוב סכום

מקור

[1][2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

$\begin{matrix} L_{e f t} : (2 * 1)^{2} = R_{i g h t} : \frac{1 (2 \cdot 1 + 1) (4 \cdot 1 + 1)}{3} \\ L_{e f t} : (2 \cdot 1)^{2} \Rightarrow 1^{2} + 2^{2} = R_{i g h t} : 5 \\ 5 = 5 \sqrt \end{matrix}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי

$1^{2} + 2^{2} + \dots + (2 k)^{2} = \frac{k (2 k + 1) (4 k + 1)}{3}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור $n = k + 1$

$\begin{matrix} \underset{\frac{k (2 k + 1) (4 k + 1)}{3}}{\underset{⏟}{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + \dots + (2 k)^{2}}} + (2 k + 1)^{2} + (2 k + 2)^{2} = \frac{(k + 1) (2 k + 3) (4 k + 5)}{3} \\ \frac{k (2 k + 1) (4 k + 1)}{3} + (2 k + 1)^{2} + (2 k + 2)^{2} = \frac{(k + 1) (2 k + 3) (4 k + 5)}{3} \\ k (2 k + 1) (4 k + 1) + 3 (2 k + 1)^{2} + 3 (2 k + 2)^{2} = (k + 1) (2 k + 3) (4 k + 5) \\ k (8 k^{2} + 6 k + 1) + 3 (4 k^{2} + 4 k + 1) + 3 (4 k^{2} + 8 k + 4) = (2 k^{2} + 5 k + 3) (4 k + 5) \\ 8 k^{3} + 6 k^{2} + k + 12 k^{2} + 12 k + 3 + 12 k^{2} + 24 k + 12 = 8 k^{3} + 10 k^{2} + 20 k^{2} + 25 k + 12 k + 15 \\ 6 k^{2} + k + 12 k^{2} + 12 k + 3 + 12 k^{2} + 24 k + 12 = 10 k^{2} + 20 k^{2} + 25 k + 12 k + 15 \\ 30 k^{2} + 37 k + 15 = 30 k^{2} + 37 k + 15 \end{matrix}$

האינדוקציה נכונה על-פי 4 שלבי האינדוקציה.

סעיף 2

עלינו להביע באמצעות $n$ את הסכום: $(2 \cdot 3)^{2} + (2 \cdot 4)^{2} + \dots + (2 \cdot 2 n)^{2}$ .

כיון שהסדרה "זרה לנו" (אין אנו יודעים לחשב ישירות את הסכום שלה), נקשר אותה (נמצא את ההבדל בין הסדרות/קשר/מה חסר כדי שיהיו דומות) אל הסדרה הראשונה:

1^{2} + 2^{2} + \dots + (2 n)^{2} = \frac{n (2 n + 1) (4 n + 1)}{3}

הספרה 2 מפריעה לנו ולכן "נוציא" אותה מהסדרה. מהסדרה החדשה ניתן להוציא את הספרה $2^{2}$ . מקבלים: $2^{2} \cdot 3^{2} + 2^{2} \cdot 4^{2} + \dots + 2^{2} (2 n)^{2}$ . באמצעות גורם משותף, נקבל את הסדרה הראשונה : $2^{2} [3^{2} + 4^{2} + \dots + (2 n)^{2}]$ . כלומר עלינו למצוא את הסכום של הסדרה הראשונה (יודעים לחשב) ולכפול בארבע.

הסכום אותו עלינו לגלות: מהאבר $3^{2}$ ועד האבר $n^{2}$ . כיון שהמספר לא רחוק, נוכל להחסיר ידנית את $1^{2} + 2^{2}$ ולחסוך סעיף של חישוב.

סכום הסדרה עד האבר $2 n^{2}$ שווה: $1^{2} + 2^{2} + \dots + (2 n)^{2} = \frac{n (2 n + 1) (4 n + 1)}{3}$ (הוכחנו). נחסיר את האברים המיותרים:

3^{2} + 4^{2} + \dots + (2 n)^{2} = \frac{n (2 n + 1) (4 n + 1)}{3} - 1^{2} - 2^{2}

נכפיל בארבע ונקבל את ביטוי הסכום של הסדרה החדשה: $S = 4 (\frac{n (2 n + 1) (4 n + 1)}{3} - 1^{2} - 2^{2})$

מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשס"ב/035303/תרגיל 3

תוכן עניינים

פתרון

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי

נוכיח כי הטענה נכונה עבור $n = k + 1$

סעיף 2

תפריט ניווט

מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ ב, תשס"ב/035303/תרגיל 3

פתרון

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור n=1

נניח כי הטענה נכונה עבור n=k טבעי

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

סעיף 2

תפריט ניווט

חיפוש

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי

נוכיח כי הטענה נכונה עבור $n = k + 1$