מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/המעגל/משוואת המיתר שבין שתי נקודות השקה

משוואת המיתר בין שתי נקודות השקה : אם מנקודה $P(x_0,y_0)$ נמצאת מחוץ למעגל $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ יוצאים שני משיקים למעגל, אזהי משוואת המיתר המחבר בין נקודות ההשקה $(AB)$ הוא $(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$.

הפרמטרים שלנו: נקודה חיצונית, משוואת המעגל, משוואת המיתר ו(נקודות החיתוך של המיתר עם המעגל).

תבנית:מבנה תבנית

כשאר נתון לנו משוואת המיתר והמעגל ועלינו למצוא את נקודת המפגש החיצונית, נשווה בין משוואה המיתר הנתונה למשוואת המיתר לאחר הצבת $P(x_0,y_0)$ באמצעות הרדיוסים.

תבנית:מבנה תבנית

הוכחה

בכדי לפשט את ההוכחה נדגים על מעגל קנוני שמשוואתו $x^2+y^2=r^2$ ונקודות ההשקה של שתי הישרים היוצאים מנקודה $P(x_0,y_0)$ יהיה $(x_1,y_1)$ וכן $(x_2,y_2)$.

משוואת המשיקים היא $x*x_1+y*y_1=r^2$ וכן $x*x_2+y*y_2=r^2$.

נציב בשתי המשוואות של המשיקים את הנקודה $P(x_0,y_0)$ דרכה עוברים שני הישירים ונחתכים: $x_0*x_1+y_0*y_1=r^2$ וכן $x_0*x_2+y_0*y_2=r^2$.

נחסיר את המשוואה הראשונה מהשניה נקבל $x_0(x_2-x_1)+y_0(y_2-y_1)=0$

נעביר את ה-$x$ לאגף השני ונקבל $y_0(y_2-y_1)=-x_0(x_2-x_1)$ נחלק ב- $y_0$ וכן גם $(x_2-x_1)$ ונקבל $\frac{(y_2-y_1)}{(x_2-x_1)}=\frac{-x_0}{y_0}$

הביטוי השמאלי במשוואה הוא למעשה משוואת השיפוע ($m=\frac{y_1-y_2}{x_1-y_2}$) עבור שיפוע המיתר. במילים אחרות שיפוע המיתר הינו $\frac{-x_0}{y_0}$.

נמצא את משוואת המיתר: $y-y_1=\frac{-x_0}{y_0}(x-x_1)$

נפטר מהמכנה ונקבל: $y*y_0-y_1*y_0=-x_0(x-x_1)$

נפתח את המשוואה $y*y_0-y_1*y_0=-x_0*x+x_0*x_1$

נסדר את המשוואה בהתאם למשוואת המעגל הכללית: $x_{0}x+y{y}_0=x_0*x_1+y_1*y_0$

אם נציב את הנקודה $(x_1,y_1)$ במשוואת המעגל בה עוברת, נקבל $x_1^2+y_1^2=r^2$ ולכן ניתן להחליף במשוואה לעיל את האגף השמאלי בתוצאה המתקבלת ממשוואת המעגל. במילים אחרות $x_{0}x+y{y}_0=r^2$.

משוואת המיתר במעגל קנוני $x^2+y^2=r^2$ הינה $x_{0}x+y{y}_0=r^2$.

באופן דומה ניתן להוכיח עבור מעגל שאינו קנוני.