מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/האליפסה הקנונית

אליפסה קנונית היא אליפסה אשר מוקדיה על ציר ה- $x$ כך ש- $F_{1} (c, 0)$ ו- $F_{2} (- c, 0)$ ומרכזה בראשית הצירים.

משוואת האליפסה הקנונית: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ כאשר $a > b$ .תבנית:הערה או לחילופין $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$

אורכי הרדיוסי הוקטור: $r_{1} = a - \frac{x c}{a}, r_{2} = a + \frac{c x}{a}$

מוקדי האליפסה: $c^{2} = a^{2} - b^{2}$

תבנית:מבנה תבנית

הוכחת משוואת האליפסה הקנונית במישור האלגברי

על-פי הגדרת המעגל

הנקודה $P$ תהא נקודה על האליפסה במישור הקרטזי וערכה $P (x, y)$ .

על-פי הגדרת האליפסה, סכום המרחק של נקודה על האליפסה מהמוקדים $F_{1}, F_{2}$ (כלומר המרחק $r_{1} + r_{2} = \sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}$ ) שווה לגודל קבוע $2 a$ .

\sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 2 a

\sqrt{(x + c)^{2} + y^{2}} = 2 a - \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}}

נעלה בריבוע את שני אגפי המשוואה, ונקבל:

(x + c)^{2} + y^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} + (x - c)^{2} + y^{2}

x^{2} + 2 x c + c^{2} = 4 a^{2} - 4 a \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} + x^{2} - 2 x c + c^{2}

4 a \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = 4 a^{2} - 4 x c

נצמצם ב-4 ונקבל:

a \sqrt{(x - c)^{2} + y^{2}} = a^{2} - x c

נעלה בריבוע:

a^{2} [(x - c)^{2} + y^{2}] = a^{4} - 2 a^{2} x c + x^{2} c^{2}

a^{2} (x^{2} - 2 x c + c^{2} + y^{2}) = a^{4} - 2 a^{2} x c + x^{2} c^{2}

a^{2} x^{2} - 2 a^{2} x c + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} - 2 a^{2} x c + x^{2} c^{2}

a^{2} x^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} + x^{2} c^{2}

a^{2} x^{2} - x^{2} c^{2} + a^{2} y^{2} = a^{4} - a^{2} c^{2}

(a^{2} - c^{2}) x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} (a^{2} - c^{2})

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1

הגודל $a^{2} - c^{2}$ הוא חיובי (על-פי תנאי לקיום האליפסה $a^{2} > c^{2}$ כלומר $a^{2} - c^{2} > 0$ ).

נסמן: $b^{2} = a^{2} - c^{2}$

נציב במשוואת האליפסה ונקבל: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ כאשר $a > b$ .

משוואה זו מייצגת את כל הנקודות $(x, y)$ במישור הקרטזי שסכום מרחקיהן מהנקודות $F_{1} (c, 0), F_{2} (- c, 0)$ הוא גודל קבוע השווה ל- $2 a$ כאשר מתקיים: $a^{2} = c^{2} + b^{2}$ .

באמצעות רדיוסי הוקטור

על משפט פיתגורס נוכל למצוא את אורכי הרדיוס הוקטורי:

$(r_{1})^{2} = (x - c)^{2} + y^{2}$
$(r_{2})^{2} = (x + c)^{2} + y^{2}$

נחסיר את המשוואות זו מזו ונקבל $(r_{2})^{2} - (r_{1})^{2} = 4 x c$ .

נפרק לגורמים את נוסחת הכפל המקוצר ונקבל $(r_{2} + r_{1}) (r_{2} - r_{1}) = 4 x c$

נציב על-פי הגדרת האליפסה $r_{2} + r_{1} = 2 a$ במשוואתנו ונקבל $2 a (r_{2} - r_{1}) = 4 x c$

נחלק ב- $2 a$ ונקבל $(r_{2} - r_{1}) = \frac{4 x c}{2 a}$

נצמצם $(r_{2} - r_{1}) = \frac{2 x c}{a}$

נעביר אגפים $r_{2} = \frac{2 x c}{a} + r_{1}$ ונציב את התוצאה במשוואה $r_{2} + r_{1} = 2 a$ כלומר $\frac{2 x c}{a} + r_{1} + r_{1} = 2 a$ . נצמצם, נחלק ונעביר אגפים, נקבל $r_{1} = a - \frac{x c}{a}$ .

באופן דומה ניתן להגיע ל- $r_{2} = a + \frac{c x}{a}$

נציב את התוצאה $r_{1} = a - \frac{x c}{a}$ במשוואה הראשונה $(r_{1})^{2} = (x - c)^{2} + y^{2}$ נקבל $(a - \frac{x c}{a})^{2} = (x - c)^{2} + y^{2}$ .

נפתח את המשוואה ונקבל $a^{2} - 2 c x + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} =^{2} - 2 x c + c^{2} + y^{2}$

נסדר את הנעלמים באגף אחד $x^{2} - \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = a^{2} - c^{2}$

נכפול פי $a^{2}$ ונקבל $(a^{2} - c^{2}) x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} (a^{2} - c^{2})$

על-פי תנאי לקיום האליפסה $a^{2} > c^{2}$ כלומר $a^{2} - c^{2} > 0$ נציב במשוואה שלנו ונקבל $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$ כלומר $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

הערות שולים

מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/האליפסה הקנונית

תוכן עניינים

הוכחת משוואת האליפסה הקנונית במישור האלגברי

על-פי הגדרת המעגל

באמצעות רדיוסי הוקטור

הערות שולים

תפריט ניווט

מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/אליפסה/האליפסה הקנונית

הוכחת משוואת האליפסה הקנונית במישור האלגברי

על-פי הגדרת המעגל

באמצעות רדיוסי הוקטור

הערות שולים

תפריט ניווט

חיפוש