מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ז/035006/תרגיל 4

טוען את הטאבים...

תרגיל (*)	נתונות שתי פונקציות: $a>0,f(x)=a{x}^2$ $b>0,g(x)=\frac{bx}{\sqrt{x^2+1}}$ מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה $g(x)$ (אם יש כאלה). נמק. הבעת באמצעות $b$ אסימפטוטות (אם יש כאלה) של הפונקציה $g(x)$ המקבילות לצירים. הגרפים של שתי הפונקציות נחתכים בשתי נקודות בלבד.סרטט, במערכת צירים אחת, סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ וסקיצה של גרף $g(x)$ נתון כי אחת מנקודות החיתוך שבין הגרפים של שתי הפונקציות היא ב$x=1$ וכן נתון כי השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות הוא $\frac{5}{3}-\sqrt{2}$ חשב את ערכי הפרמטרים $a$ ו-$b$.
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	[1]

1

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

תרגיל	(תוכן)
נושא	(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור	(קישור למסמך המקורי)

90%

#AAAAAA

center

סעיף א

בכדי למצוא נקודות עליה וירידה נבדוק תחילה את תחום ההגדרה. מאחר ששורש הפונקציה חייב להיות חיובי, הפונקציה מוגדרת לכל $x$.

נגזור את הפונקציה $g(x)=\frac{bx}{\sqrt{x^2+1}}$ על פי כלל הגזירה של מנת פונקציה $g^{\prime }(x)=\frac{h^{\prime }*l-h*l^{\prime }}{l^2}$ תחילה בנפרד (כדי לא להתבלבל) ולאחר מכן נאחד את הפתרונות בהתאם:

• $h^{\prime }(x)=b$
• $l^{\prime }=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

נציב $\frac{b\sqrt{x^2+1}-bx*\frac{x}{\sqrt{x^2+1x}}}{x^2+1}$

נפטר מהמכנה העליון $\sqrt{x^2+1}$ : $\frac{\frac{b(x^2+1)-b{x}^2}{\sqrt{x^2+1x}}}{x^2+1}$

נפתח סוגרים ובכדי להקל על העין נעזר בסימן חילוק פשוט : $\frac{b{x}^2+b-b{x}^2}{\sqrt{x^2+1x}}:(x^2+1)$

נפטר מהמכנה וצמצם :$\frac{b}{(x^2+1)*\sqrt{x^2+1x}}$

מאחר ש-$b>0$ המונה חיובי. גם מכנה חיובי תמיד (הרי תחום ההגדרה חיובי לכל $x$):

• האיבר $x^2+1$ חייב להיות חיובי (מספר בחזקת שנתים)
• התוצאה של שורש גם היא חיובית.

במילים אחרות, כל מספר שנציב בנגזרת תמיד יביא תוצאה חיובית ולכן הפונקציה תמיד עולה.

סעיף ב

אספימטוטות אנכיות: הראינו כי הפונקציה מוגדרת לכל $x$ בסעיף הראשון ולכן אין אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות: בכדי למצוא לפונקציה עם שורש אסימפטוטה אופקית, חייבים להעזר בדרך הארוכה למציאת אסימפטוטות.

• האסימפטוטה מוגדרת לכל $x$ לכן נבדוק לכלל הערכים את האסימפטוטה כאשר $li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}$
  • נחלק בנעלם עם החזקה הגבוה ביותר ($x$) את הפונקציה: $g(x)=\frac{\frac{bx}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}$
  • נכניס את הנעלם לשורש $g(x)=\frac{b}{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}$
  • נצמצם : $g(x)=\frac{b}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$
  • נציב $li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}$ : $g(x)=\frac{b}{\sqrt{1+\frac{1}{0}}}=\frac{b}{1}=b$
• נבדוק לכלל הערכים את האסימפטוטה כאשר $li{m}_{x\to -\mathrm{\infty }}$
  • נחלק בנעלם עם החזקה הגבוה ביותר ($x$) את הפונקציה: $g(x)=\frac{\frac{bx}{x}}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}$
  • נכניס את הנעלם לשורש ולא נשכח להוסיף מינוס לפני : $g(x)=\frac{b}{-\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}$
  • נצמצם : $g(x)=\frac{b}{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$
  • נציב $li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}$ : $g(x)=\frac{b}{-\sqrt{1+\frac{1}{0}}}=\frac{b}{-1}=-b$

האסימפטוטה עבור $li{m}_{x\to \mathrm{\infty }}$ היא $b$

האסימפטוטה עבור $li{m}_{x\to -\mathrm{\infty }}$ היא $-b$

סעיף ג

הפונקציה $a>0,f(x)=a{x}^2$ היא פרבולה עם מקדם $a$ שמשפיע על גודל הקעירות. אנו יודעים לשרטט פרבולה ולכן אין צורך לחקור את הפונקציה. כפי שניתן לראות נקודת החיתוך של הפונקציה עם הצירים היא בנקודה $(0,0)$ (לאחר הצבה $f(x)=a*0^2=0$ ו-$0=a{x}^2$)

הוכחנו כי הפונקציה $g(x)$ עולה לכל $x$ והאסימפטוטה שלה הן $b,-b$

נמצא את נקודות החיתוך שלה עם הצירים באמצעות הצבה $x=0$ ו-$y=0$ ונגלה כי היא נחתכת בנקודה $(0,0)$ ($\frac{b*0}{\sqrt{0^2+1}}=0$ וכן גם עבור $\frac{bx}{\sqrt{x^2+1}}=0$)

מאחר שאנו עובדים עם פונקציה שעולה, פרבולה מעל ציר ה-$x$ ונקודת חיתוך בראשית הצירים, נקודת החיתוך חייבת להיות ברביע הראשון כדי שהפונקציות יענו על כל התנאים.

סעיף ד

נמצא את ערכי ה-$y$ של נקודת החיתוך x=$x=1$ באמצעות הצבת ערך הנקודה בכל אחת מהפונקציות:

• $(1,a^2)f(1)=a*1^2=a^2$
• $(1,\frac{b}{\sqrt{2}})g(1)=\frac{1*b}{\sqrt{1^2+1}}=\frac{b}{\sqrt{2}}$

מאחר ומדובר על אותה נקודה נשווה בין ערכי ה-$y$ של הנקודה ונקבל את המשוואה $\frac{b}{\sqrt{2}}=a^2$ כלומר $b=a\sqrt{2}$

על פי הנתון השני בשאלה, השטח הכלוא בין שתי הפונקציות שווה $\frac{5}{3}-\sqrt{2}$:

• השטח כלוא בין שתי נקודות החיתוך כלומר בין $(0,0)$ לנקודה $(1,a^2)$
• אנו רוצים לגלות שטח הכלוא בין שתי פונקציות ואנו נגלה אותו באמצעות:
  • מציאת השטח הכלוא בין הפונקציה $g(x)$ עם ציר ה-x בתחום נקודות החיתוך: $\underset{1}{\overset{0}{\int }}g(x)\frac{bx}{\sqrt{x^2+1}}dx$
  • מציאת השטח הכלוא בין הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה-x בתחום נקודות החיתוך: $\underset{1}{\overset{0}{\int }}f(x)a^{2}dx$
  • חיסור השטחים בתחומים הנ"ל, כלומר $\underset{1}{\overset{0}{\int }}[\frac{bx}{\sqrt{x^2+1}}-a{x}^2]dx$
  • נבצע אינטגרציה:

$[\frac{b}{2}*\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}*2x-a{x}^2]=\frac{b}{2}*2\sqrt{x^2+1}-\frac{a{x}^3}{3}$

• • נציב את התחומים ונקבל $b\sqrt{2}-\frac{a}{3}-(b-0)=b\sqrt{2}-b-\frac{a}{3}$
  • נשווה לשטח $b\sqrt{2}-b-\frac{a}{3}=\frac{5}{3}-\sqrt{2}$

נציב את המשוואה הראשונה ($b=a\sqrt{2}$) בשניה : $a\sqrt{2}*\sqrt{2}-a\sqrt{2}-\frac{a}{3}=\frac{5}{3}-\sqrt{2}$

• נפטר מהמכנה : $6a-3a\sqrt{2}-a=5-3\sqrt{2}$
• $a=\frac{5-3\sqrt{2}}{5-3\sqrt{2}}=1$

נמצא את $b$ באמצעות הצבה $a=1$ ב- $b=a\sqrt{2}$ ונקבל $b=\sqrt{2}$