הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/גזירות גוררת רציפות

משפט

אם $f$ פונקציה גזירה בנקודה $a$ , אז היא רציפה בנקודה $a$ . במילים אחרות, גזירות בנקודה גוררת רציפות בה.

הוכחה

עלינו להראות כי $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$ . נעשה זאת על־ידי כך שנראה כי ההפרש $f(x)-f(a)$ שואף ל־0.

על־פי אריתמטיקה של גבולות והגדרת הגזירות:

$$\begin{array}{cc}\underset{x\to a}{\lim }[f(x)-f(a)]& =\underset{x\to a}{\lim }[f(x)-f(a)]\cdot \underset{x\to a}{\lim }\frac{x-a}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)\\ & =\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot \underset{x\to a}{\lim }(x-a)=f^{\prime }(a)\cdot 0=0\\ \underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }[f(a)+(& f(x)-f(a)\left)\right]=\underset{x\to a}{\lim }f(a)+\underset{x\to a}{\lim }[f(x)-f(a)]=f(a)+0=f(a)\end{array}$$

$◼$