הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של מכפלה

משפט

אם $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L,\underset{x\to a}{\lim }g(x)=M$ אזי $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\cdot g(x)]=L\cdot M$ .

הוכחה

יהי $\epsilon >0$ . נראה שקיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $|f(x)g(x)-L\cdot M|<\epsilon$ . $$\begin{array}{c}|f(x)g(x)-L\cdot M|=|f(x)g(x)-L\cdot g(x)+L\cdot g(x)-L\cdot M|=|g(x)(f(x)-L)+L(g(x)-M\left)\right|\\ \le |g(x)(f(x)-L\left)\right|+\left|L\right(g(x)-M\left)\right|=|g(x)|\cdot |f(x)-L|+|L|\cdot |g(x)-M|\end{array}$$

מהנתונים על הגבולות נסיק כי:

$g(x)$ חסומה וקיים ${\delta }_1>0$ כך שמתקיימים בו זמנית המקרים: $|g(x)|<A$ לכל $0<|x-a|<{\delta }_1$ וגם $|L|<A$ , עבור $A>0$ כלשהו.

קיים ${\delta }_2>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_2$ מתקיים $|f(x)-L|<\frac{\epsilon }{2A}$ .

קיים ${\delta }_3>0$ כך שלכל $0<|x-a|<{\delta }_3$ מתקיים $|g(x)-M|<\frac{\epsilon }{2A}$ .

נבחר $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3\}$ . לפיכך,

$$|f(x)g(x)-L\cdot M|\le |g(x)|\cdot |f(x)-L|+|L|\cdot |g(x)-M|<A\cdot \frac{\epsilon }{2A}+A\cdot \frac{\epsilon }{2A}=\epsilon$$

$◼$