הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/מבחן השורש לסדרות

משפט

תהי $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ סדרה חיובית. נסמן $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=L$ .

• אם $L<1$ אז $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$ .
• אם $L>1,L=\mathrm{\infty }$ אז $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\mathrm{\infty }$ .

הוכחה

• מקרה א': $L<1$

בדומה למבחן השורש לטורים, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה.

ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן השורש לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[n]{a_n}=L<1$ , אז המבחן קובע כי הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ מתכנס,

וכיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה ל-0, נקבל כי $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$ .

$◼$

• מקרה ב': $L>1,L=\mathrm{\infty }$

נבחר מספר $r$ המקיים $L>r>1$ . כיון ש־$L>1$ קיים $N\in \mathbb{N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $\sqrt[n]{a_n}>r$ , כלומר $a_n>r^n$ .

$\{r^n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ היא סדרה הנדסית עם מנה $r>1$ ולכן שואפת לאינסוף. מאי־השוויון לעיל נובע כי $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\mathrm{\infty }$ .

$◼$