הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/התכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס

משפט

אם הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ מתכנס, אזי $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$ .

הוכחה

מהתכנסות הטור נובע כי סדרת הסכומים החלקיים $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ מתכנסת לגבול סופי $L$ . נשים לב כי לכל $n\ge 2$ מתקיים $a_n=S_n-S_{n-1}$ .

אזי לפי [[../../גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/גבול של סכום והפרש|אריתמטיקה של גבולות סופיים]] נקבל כי:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[S_n-S_{n-1}]=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{n-1}=L-L=0$$

$◼$