הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/יחידות הגבול

משפט

אם לסדרה קיים גבול, אזי הגבול הוא יחיד. במילים אחרות, אם $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מתכנסת גם למספר $L$ וגם למספר $M$ , אז בהכרח $L=M$ .

הערה: המשפט נכון באותה מידה עבור פונקציות, הן עבור גבול בנקודה סופית והן עבור גבול באינסוף, עם הוכחות בעלות עקרון זהה.

הוכחה באמצעות הגדרת הגבול

מהגדרת הגבול לכל $\epsilon >0$ קיים $k_1\in \mathbb{N}$ כך שלכל $n>k_1$ מתקיים $|a_n-L|<\frac{\epsilon }{2}$ .

כמו־כן, עבור אותו $\epsilon$ קיים $k_2\in \mathbb{N}$ כך שלכל $n>k_2$ מתקיים $|a_n-M|<\frac{\epsilon }{2}$ .

נבחר $k=\max \{k_1,k_2\}$ ואז לכל $\epsilon >0$ קיים $k\in \mathbb{N}$ כך שלכל $n>k$ מתקיים $|a_n-L|<\frac{\epsilon }{2}$ וגם $|a_n-M|<\frac{\epsilon }{2}$ .

אזי,

$$|L-M|=|L-a_n+a_n-M|\le |L-a_n|+|a_n-M|=|a_n-L|+|a_n-M|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$$

$|L-M|\ge 0$ אבל זה לא יכול להיות גדול מ־0 כי אז נוכל לבחור $\epsilon =\frac{|L-M|}{2}$ ונקבל סתירה. לפיכך $|L-M|=0$ כלומר $L=M$ .

$◼$

הוכחה באמצעות המשפט על מונוטוניות של גבולות

על־פי המשפט על מונוטוניות של גבולות, ניתן להציע הוכחה קצרה ומיידית.

המשפט אומר כי אם שתי סדרות מקיימות $A_n\le B_n$ לכל $n>k\in \mathbb{N}$ ושתי הסדרות מתכנסות, אזי $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{B}_n$ .

נשתמש במשפט, כאשר שתי הסדרות שלנו יהיו הסדרה הנתונה $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ . כמובן שמתקיים $a_n\le a_n$ והסדרה מתכנסת (לשני גבולות שונים), אז מהמשפט נובע כי $L\le M$ . מאידך גיסא, $a_n\ge a_n$ ונקבל $M\le L$ . אזי האפשרות היחידה היא $L=M$ .

$◼$