הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מונוטוניות של גבולות

משפט

אם $f(x)\le g(x)$ בסביבה מנוקבת של $a$ ואם $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L,\underset{x\to a}{\lim }g(x)=M$ , אזי $L\le M$ .

הוכחה

נניח בשלילה כי $L>M$ .

החוק להפרש גבולות אומר כי $\underset{x\to a}{\lim }[g(x)-f(x)]=M-L$ . לכן לכל $\epsilon >0$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $\left|\right[g(x)-f(x)]-(M-L)|<\epsilon$ .

בפרט עבור $\epsilon =L-M$ קיים $\delta >0$ כך שלכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $\left|\right[g(x)-f(x)]-(M-L)|<L-M$ .

לכל $a$ ממשי מתקיים $a\le |a|$ , לכן לכל $0<|x-a|<\delta$ מתקיים $[g(x)-f(x)]-(M-L)<L-M$ . מהעברת אגפים נקבל $g(x)<f(x)$ .

אבל הנחתנו היא $f(x)\le g(x)$ בסביבת $a$ . סתירה!

לכן $L\le M$ .

$◼$