אלגברה לינארית/חישוב דטרמיננטה לפי נוסחת לפלס (מינורים)

מטריצה ריבועית 2×2

$\det (A)=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right|=1\cdot 3-2\cdot 1=1$

מטריצה ריבועית 3×3

נוסחה כללית:

$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

(מבודדים שורה ראשונה ומכפילים בכל המטריצות הריבועיות שנותרו)

נחשב את הדטרמיננטה של $A=\left[\begin{array}{ccc}-2& 2& -3\\ -1& 1& 3\\ 2& 0& -1\end{array}\right]$ בכדי להסביר את הפעולה שהוכחנו במשפט 1 בדטרמיננטה:

$\begin{array}{cc}\det (A)& =(-1{)}^{1+2}\cdot 2\cdot \left|\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& -1\end{array}\right|+(-1{)}^{2+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -3\\ 2& -1\end{array}\right|+(-1{)}^{3+2}\cdot 0\cdot \left|\begin{array}{cc}-2& -3\\ -1& 3\end{array}\right|\\ & =(-2)[(-1)(-1)-(2)(3)]+(1)[(-2)(-1)-(2)(-3)]\\ & =(-2)(-5)+8=18\end{array}$

השיטה הלא פורמלית היא פעם להכפיל אלכסון בעצמו ובאחד ופעם להחסיר (כלומר להכפיל את האלכסון השני ב־1-) את אותו אלכסון מהאלכסון הבא, וכך חלילה:

$\begin{array}{cc}\det (A)& =(-2)\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& -1\end{array}\right]-(2)\left[\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& -1\end{array}\right]+(-3)\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 0\end{array}\right]\\ & =(2)[(1)(-1)-(3)(0)]-(2)[(-1)(-1)-(3)(2)]+(-3)[(-1)(0)-(1)(2)]\\ & =(-2)(-5)+8=18\end{array}$