אלגברה לינארית/כפל מטריצה בווקטור

כפל בסקלר

מכפלה של מטריצה בוקטור - שורה של וקטור כפול עמודה במטריצה

תהי מטריצה $A$ בגודל $m \times n$ וגם הווקטור $\vec{v} \in ℝ^{n}$ .

אז נייצג את הווקטור $v = [\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}]$ ואת המטריצה $A = (C_{1}, \dots, C_{n})$ .

אז מכפלה של המטריצה בווקטור מוגדרת כפל וקטורים: $A \vec{v} = v_{1} C_{1} + \dots + v_{n} C_{n} \in ℝ^{m}$

דוגמא: $A = [\begin{matrix} 1 & 5 & 3 \\ 4 & 5 & 0 \end{matrix}], \vec{v} = [\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]$

אז מכפלתם: $A \vec{v} = 3 \cdot [\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix}] + 1 \cdot [\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}] + 0 \cdot [\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 \\ 12 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 8 \\ 17 \end{matrix}] \in ℝ^{2}$

מכפלה של מטריצה שורה של מטריצה כפול עמודת הוקטור $(A v)$

תהי מטריצה $A = [\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix}]$ בגודל $m \times n$ ו־ $v = [\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}] \in ℝ^{n}$

אז $A \vec{v} = \vec{w} = [\begin{matrix} w_{1} \\ ⋮ \\ w_{m} \end{matrix}]$

$\begin{matrix} w_{1} & = v_{1} a_{11} + v_{2} a_{12} + \dots + v_{n} a_{1 n} \\ ⋮ \\ w_{m} & = v_{1} a_{m 1} + v_{2} a_{m 2} + \dots + v_{n} a_{m n} \end{matrix}$

כלומר אם $C_{i} = [\begin{matrix} a_{1 i} \\ ⋮ \\ a_{m i} \end{matrix}]$ הוא טור $i$ ב־ $A$ אז $A v = v_{1} C_{1} + \cdot + v_{n} C_{n} \in ℝ^{m}$ .

ניתן לייצג באופן סכמתי בתור $w_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} v_{j}$ .

אם נתונה מערכת משוואות לינארית עם מטריצה מורחבת $[A | b]$ כאשר $A = [\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m n} \end{matrix}], \vec{b} = [\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}]$

אז המערכת היא ${\begin{matrix} a_{11} x_{1} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + \dots + a_{m n} x_{n} = b_{m} \end{matrix}$

אז ניתן לרשום את המערכת בצורה $A \vec{x} = \vec{b}$ כאשר $\vec{x} = [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$ וקטור שרכיביו הם הנעלמים.

דוגמא: $A = [\begin{matrix} 1 & 5 & 3 \\ 4 & 5 & 0 \end{matrix}], \vec{v} = [\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}]$

אזי $[\begin{matrix} 1 & 5 & 3 \\ 4 & 5 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \cdot 3 + 5 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \\ 4 \cdot 3 + 5 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 8 \\ 17 \end{matrix}]$

תכונות

$A {\vec{e}}_{i} = {\vec{c}}_{i}$ , למשל $[\begin{matrix} 1 & 5 & 3 \\ 4 & 5 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}]$
יהי $\vec{v} = [\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}] \in ℝ^{n}$ אז $I_{n} \vec{v} = v_{1} {\vec{e}}_{1} + \dots + v_{n} {\vec{e}}_{n} = \vec{v}$ . למשל $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}]$

אלגברה לינארית/כפל מטריצה בווקטור

תוכן עניינים

כפל בסקלר

מכפלה של מטריצה בוקטור - שורה של וקטור כפול עמודה במטריצה

מכפלה של מטריצה שורה של מטריצה כפול עמודת הוקטור $(A v)$

תכונות

תפריט ניווט

אלגברה לינארית/כפל מטריצה בווקטור

כפל בסקלר

מכפלה של מטריצה בוקטור - שורה של וקטור כפול עמודה במטריצה

מכפלה של מטריצה שורה של מטריצה כפול עמודת הוקטור (Av)

תכונות

תפריט ניווט

חיפוש

מכפלה של מטריצה שורה של מטריצה כפול עמודת הוקטור $(A v)$