אלגברה לינארית/תמורה

תמורות

הגדרה

תמורה (פרמוטציה, permutation) היא פונקציה $\sigma :\{1,2,3,\dots ,n\}\to \{1,2,3,\dots ,n\}$ חח"ע (חד-חד-ערכית) ועל. כלומר מתקיים ש- $i_1\ne i_2$ גורר ש- $\sigma (i_1)\ne \sigma (i_2)$ (חד-חד-ערכיות) ולכל $i\in \{1,2,3,\dots ,n\}$ קיים j באותה קבוצה כך ש- $\sigma (j)=i$ (על).

דוגמא: $\sigma :\{1,2,3\}\to \{1,2,3\}$ כך ש- $\sigma (1)=2,\sigma (2)=1,\sigma (3)=3$ זה תמורה. מצד שני, $\sigma (1)=1,\sigma (2)=1,\sigma (3)=3$ זה לא תמורה כיון שהיא לא חח"ע (קיימים שני אברים שונים 1,2 שנשלחים לאותו אבר, 1) היא גם לא על כיון שאין אבר שהתמורה שולחת אותו ל-2.

קבוצת כל התמורות על $\{1,2,3,\dots ,n\}$ מסומנת ב- $S_n$ (זאת אומרת ש- $S_n$ זה קבוצה של פונקציות)

כתיב מחזורים וסימן

כתיב של תמורה בדרך שהראנו קודם (בדוגמה: $\sigma (1)=2,\sigma (2)=1,\sigma (3)=3$) יכול להיות מאוד ארוך אם לא נמצא דרך אחרת לכתוב אותה. לכן, דרך אפשרית לכתוב תמורה זה בעזרת "מחזורים" (או "עגילים"). לדוגמה, ניקח את $\tau :S_4\to S_4$ כך ש- $\tau (1)=2,\tau (2)=4,\tau (3)=3,\tau (4)=1$ . נסמן את התמורה הזאת באופן הבא: $(1,2,4)(3)$ המחזור הראשון אומר ש-1 נשלח ל-2 (כי $\tau (1)=2$), אחריו מגיע 2 שנשלח ל-4 ואז 4 נשלח חזרה ל-1 המחזור השני אומר ש-3 נשלח לעצמו.

• מחזור בן אבר אחד (שאומר בעצם שאבר מסוים נשלח לעצמו) לא נהוג לכתוב. בעצם התמורה $\tau$ היינו אמורים לסמן $(1,2,4)$ ואז כיון שלא נראה פה 3 נוכל להסיק שהוא נשלח לעצמו פשוט.
• תמורה ששולחת כל אבר לעצמו חוץ משני אברים שאותם מחליפה ביניהם (לדוגמה התמורה הראשונה שעשינו בדף הזה, סיגמא, שולחת את כל האברים לעצמם חוץ מאת 1 ואת 2 שהיא מחליפה ביניהם, זאת אומרת, 1 נשלח ל-2 ו-2 נשלח ל-1), נקראת "חילוף".
• כל תמורה היא הרכבה של חילופים (מדובר על הרכבת פונקציות). נשים לב שהתמורה $(i_1,i_2,\dots ,i_n)$ היא בעצם הרכבה של החילופים $(i_1,i_2)\circ (i_2,i_3)\circ \dots \circ (i_{n-1},i_n)$ .

מגדירים סימן של תמורה (ומסמנים $\mathrm{sgn}(\sigma )$) להיות 1 אם התמורה מורכבת ע"י מספר זוגי של חילופים ו- 1- במקרה שהתמורה מורכבת ממספר אי זוגי של חילופים.

ניתן להסיק שאם הכתיב המחזורי של תמורה מסויימת הוא רק מחזור אחד מאורך k אז $\mathrm{sgn}(\sigma )=(-1{)}^{k+1}$ . בנוסף, נראה כי אם ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ מחזורים זרים (כלומר, בצורה המחזורית של כל אחד מהם לא מופיע אף איבר משותף. $(1,3)$ ו- $(2,4,5)$ הם מחזורים זרים ב- $S_6$) אז $\mathrm{sgn}({\sigma }_1\circ {\sigma }_2)=\mathrm{sgn}({\sigma }_1)\cdot \mathrm{sgn}({\sigma }_2)$ ולכן אפשר להסיק שאם הכתיב המחזורי של תמורה הוא כמה מחזורים באורך $k_1,k_2,\dots ,k_t$ אז $\mathrm{sgn}(\sigma )=(-1{)}^{k_1+1}\cdot (-1{)}^{k_2+1}\cdots (-1{)}^{k_t+1}$