אלגברה לינארית/תתי מרחב

תתי-מרחב

לכל $𝔽$ שדה ו- $V$ מרחב וקטורי, קיימת תת קבוצה, $U = {0}$ שהינו תת מרחב של $V$ .
לכל $𝔽$ שדה ו- $V$ מרחב וקטורי קיימת תת הקבוצה $U = V$ שהינה תת מרחב של V.
לכל $𝔽$ והמרחב הווקטורי $V = 𝔽^{n}$ , נוכל להגדיר תת קבוצה של $V, U = {(x_{1}, . . . x_{n}) \in V ∣ x_{i} = 0 \forall 1 \leq i \leq n}$ . מפני שחיבור וכפל ב- $0$ נותנים סגירות עבור חיבור וכפל.
לכל $𝔽$ ומרחב וקטורי של טורי חזקות פורמליים $V = 𝔽 [[x]]$ נוכל להגדיר $U = 𝔽 [x]$ מפני ש $U = 𝔽 [x] \subset 𝔽 [[x]] = V$ ולכן $U \subset V$ .

תהי מטריצה $A \in M_{m \times n}$ עם מקדמים בשדה $𝔽$ . נתונים $u, v \in 𝔽^{n}$ (וקטורים), ו- $c \in 𝔽$ , סקלר, אז מתקיימות התכונות הבאות:

אזי כאשר $U = {v \in 𝔽^{n} | A v = 0}$ (קבוצת הפתרונות של מטריצה הומוגנית) הוא תמיד תת מרחב של $𝔽^{n}$ מפני ש:

$0 \in U$ .
$u + v \in U$ - יהי $u, v \in U$ אז $A u = 0$ וגם $A v = 0$ ומכאן $A (u + v) = A u + A v = 0 + 0 = 0$ .
$c u \in U$ - יהי $u \in U$ ו- $c \in 𝔽$ אז $A u = 0$ מכאן $A (c u) = c (A u) = c \cdot 0 = 0$ .

תהי $A = I_{n}$ אז $U = {v \in 𝔽^{n} ∣ I_{n} v = 0} = {0}$ הוא תת מרחב
$A = 0$ אז $U = {v \in 𝔽^{n} ∣ 0 v = 0} = 𝔽^{n}$
יהי $A = [\begin{matrix} 0 & \dots & 1 \end{matrix}]$ אז $U = {v = [\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}] \in 𝔽^{n} ∣ [\begin{matrix} 0 & \dots & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}] = 0} = {[\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}] \in 𝔽^{n} ∣ v_{n} = 0}$ תת מרחב.