אנליזה נומרית/אינטרפולציה: הפרשים סופיים

תבנית:אנליזה נומרית אינטרפולציה היא מציאת קירוב לערך הפונקציה בין שתי נקודות נתונות. מעתה והלאה נניח, כמו מקודם, כי המרחקים על ציר x בין כל שתי נקודות סמוכות הוא h. לכן כל נקודה ניתן לייצוג על ידי $x_i+\theta h$, כאשר $0\le \theta \le 1$.

אינטרפולציה באמצעות הפרשים קידמיים

נשתמש באופרטורים אשר פיתחנו קודם על מנת לייצג נקודות שאין לנו מידע עבורן. ניעזר בקשר $E=1+\mathrm{\Delta }$ ובמקרה הפרטי של בינום ניוטון:

$f(x+\theta h)=E^{\theta }f(x)=(1+\mathrm{\Delta }{)}^{\theta }f(x)=[1+\theta \mathrm{\Delta }+\frac{\theta (\theta -1)}{2!}{\mathrm{\Delta }}^2+\frac{\theta (\theta -1)(\theta -2)}{3!}{\mathrm{\Delta }}^3+...]f(x)$

קיבלנו טור אינסופי, אך אותנו מעניינות תוצאות מעשיות. לכן נבחן את שני הקירובים הראשונים בלבד.

קירוב לינארי

$f(x+\theta h)\approx [1+\theta \mathrm{\Delta }]f(x)=f(x)+\theta [f(x+h)-f(x)]$

קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של קו ישר.

קירוב ריבועי

$f(x+\theta h)\approx [1+\theta \mathrm{\Delta }+\frac{\theta (\theta -1)}{2!}{\mathrm{\Delta }}^2]f(x)=f(x)+\theta [f(x+h)-f(x)]+\frac{\theta (\theta -1)}{2!}[f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)]$

קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של פרבולה.

נשים לב כי עבור θ=0,1 נקבל חזרה את ערכי הפונקציה המקוריים. כללית: ע"י k נקודות ידועות נוכל לבנות שיטה מסדר k אשר תתן תוצאות מדויקות באותן נקודות ידועות, אך מכיוון שאנו מאלצים על פולינום מדרגה גבוהה לעבור דרך נקודות נתונות, הדיוק עלול להינזק.

הערכת השגיאה: נמצא קשר בין אופרטור הפרשים קדמיים לאופרטור הגזירה על מנת לבטא את השגיאה:

$Df(x_i)=f^{\prime }(x_i)=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}=\frac{\mathrm{\Delta }}{h}f(x_i)\Rightarrow f^{‴}(x_i)={\left(\frac{\mathrm{\Delta }}{h}\right)}^{3}f(x_i)$

השארית מיוצגת ע"י האיבר הראשון בטור שהזנחנו, ולכן על ידי העבר אגפים פשוטה בקשר שקיבלנו ושימוש במשפט לגראנז' נותנים:

$R=\left(\frac{\theta (\theta -1)(\theta -2)}{3!}{\mathrm{\Delta }}^3\right)f(x_i)\approx \frac{h^3\theta (\theta -1)(\theta -2)}{3!}{f}^{‴}(c)$

באופן דומה ניתן לפתח נוסחאות לאינטרפולציה באמצעות הפרשים אחוריים והפרשים מרכזיים.

אינטרפולציה באמצעות הפרשים אחוריים

ניעזר בקשר $E=(1+\mathrm{\nabla }{)}^{-1}$ ובמקרה הפרטי של בינום ניוטון:

$f(x+\theta h)=E^{\theta }f(x)=(1-\mathrm{\nabla }{)}^{-\theta }f(x)=[1+\theta \mathrm{\nabla }+\frac{\theta (\theta +1)}{2!}{\mathrm{\nabla }}^2+\frac{\theta (\theta +1)(\theta +2)}{3!}{\mathrm{\nabla }}^3+...]f(x)$

קיבלנו טור אינסופי, אך אותנו מעניינות תוצאות מעשיות. לכן נבחן את שני הקירובים הראשונים בלבד.

קירוב לינארי

$f(x+\theta h)\approx [1+\theta \mathrm{\nabla }]f(x)=f(x)+\theta [f(x)-f(x-h)]$

קירוב זה טוב כאשר לפונקציה התנהגות מקומית מקורבת של קו ישר.

אינטרפולציה באמצעות הפרשים מרכזיים

(להשלים)