הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/מונוטוניות גוררת גבולות חד-צדדיים

משפט

אם $f(x)$ מוגדרת בקטע הסגור $[a,b]$ ומונוטונית בקטע, אז יש לה גבולות חד־צדדיים בכל $x_0\in [a,b]$ .

הוכחה

נניח ללא הגבלת הכלליות כי הפונקציה מונוטונית עולה, ונוכיח ללא הגבלת הכלליות כי לפונקציה יש גבול שמאלי בכל נקודה בקטע.

נגדיר קבוצה $S=\{f(x):x<x_0\}$ .

יהי $\epsilon >0$ . נמצא $\delta >0$ כך שלכל $0<x_0-x<\delta$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$ , כאשר $L=\sup S$ .

קיומו של $L$ מובטח מכיון ש־$S$ חסומה מלעיל ע"י $f(x_0)$ , וקיים לקבוצה חסם עליון על־פי אקסיומת השלמות של המספרים הממשיים.

נשים לב כי לכל $x<x_0$ מתקיים $f(x)\in S$ ולכן $f(x)\le L<L+\epsilon$ לכל $\epsilon >0$ ובלי קשר לבחירת דלתא, ונותר לנו רק להוכיח כי לכל $\epsilon >0$ ולכל $x<x_0$ מתקיים $f(x)>L-\epsilon$ .

על־פי הגדרת חסם עליון, לכל $\epsilon >0$ קיים $f(x_1)\in S$ עבורו $f(x_1)>L-\epsilon$ .

נבחר $\delta =x_0-x_1$ ואז אם $0<x_0-x<\delta$ אז $x>x_1$ וכיון שהפונקציה מונוטונית עולה בקטע, נקבל כי $f(x)\ge f(x_1)$ ולכן $f(x)>L-\epsilon$ .

לכן לכל $0<x_0-x<\delta$ מתקיים $|f(x)-L|<\epsilon$ לכל $\epsilon >0$ .

$◼$