הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/התכנסות סדרה גוררת חסימות

משפט

אם סדרה $\{a_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מתכנסת לגבול סופי, אז הסדרה חסומה.

הוכחה

נסמן $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=L$ .

מכאן לפי הגדרת הגבול קיים $N\in \mathbb{N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים

$L-c<a_n<L+c$

עבור $c>0$ כלשהו.

קבוצת אברי הסדרה המקיימים $n\le N$ היא קבוצה סופית של מספרים ממשיים ולכן חסומה. נסמן ב- $M$ חסם כלשהו שלה, כלומר:

$-M<a_n<M$

קבוצת אברי הסדרה כולה היא איחוד הקבוצה הראשונה והשניה, לכן היא חסומה מלמעלה על-ידי המקסימום של החסמים העליונים של שתי הקבוצות, וחסומה מלמטה על-ידי המינימום של החסמים התחתונים של שתי הקבוצות, כלומר:

$(\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N})\min \{-M,L-c\}<a_n<\max \{M,L+c\}$

מסקנה: הסדרה $\{a_n\}$ חסומה. מ.ש.ל