הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/חיוביות (שליליות) הנגזרת גוררת שהפונקציה מונוטונית עולה (יורדת)

משפט

אם $f$ גזירה בקטע $(a,b)$ ומתקיים $f^{\prime }(x)\ge 0$ לכל $x\in (a,b)$ , אזי $f$ מונוטונית עולה בקטע $(a,b)$ .

הוכחה

יהיו $x_1,x_2\in (a,b)$ ונניח ללא הגבלת הכלליות כי $x_1<x_2$ .

$f$ גזירה בקטע $(a,b)$ , ובפרט גזירה בקטע הפתוח $(x_1,x_2)$ ורציפה בקטע הסגור $[x_1,x_2]$ .

תנאי [[../../גזירות/משפט הערך הממוצע של לגראנז'|משפט הערך הממוצע של לגראנז']] מתקיימים, לפיכך קיים $c\in (x_1,x_2)$ עבורו

$f^{\prime }(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\ge 0$

מכך נובע כי $f(x_1)\le f(x_2)$ . לכן $f$ מונוטונית עולה בקטע $(a,b)$ .

$◼$

משפט

אם $f$ גזירה בקטע $(a,b)$ ומתקיים $f^{\prime }(x)\le 0$ לכל $x\in (a,b)$ , אזי $f$ מונוטונית יורדת בקטע $(a,b)$ .

הוכחה

ההוכחה דומה מאוד להוכחה לעיל. ההבדל היחיד הוא שכאן נקבל כי $f(x_1)\ge f(x_2)$ ולכן $f$ מונוטונית יורדת בקטע $(a,b)$ .

$◼$