הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט הערך הממוצע של לגראנז'

משפט

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ וגזירה בקטע הפתוח $(a,b)$ . אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

הוכחה ישירה

תהי $y(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ משוואת הישר העובר בנקודות $(a,f(a)),(b,f(b))$ , רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה $y^{\prime }(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

נגדיר פונקציה נוספת $h(x)=f(x)-y(x)$ , רציפה בקטע $[a,b]$ כ[[../../גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/אריתמטיקה והרכבה של פונקציות רציפות#סכום והפרש של פונקציות רציפות|הפרש פונקציות רציפות]], גזירה בקטע $(a,b)$ כ[[../../גזירות/נגזרת של סכום והפרש פונקציות|הפרש פונקציות גזירות]], ומקיימת $h(a)=h(b)=0$ .

$h(x)$ מקיימת את שלושת תנאי [[../../גזירות/משפט רול|משפט רול]], לפיכך קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $h^{\prime }(c)=0$ :

$$h^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-y^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\Rightarrow f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

$◼$

הוכחה באמצעות משפט הערך הממוצע של קושי

[[../../גזירות/משפט הערך הממוצע של קושי|משפט הערך הממוצע של קושי]] מהווה הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומוכח ללא תלות במשפט לגראנז'.

אם $f,g$ רציפות בקטע $[a,b]$ , גזירות בקטע $(a,b)$ ומתקיים $g^{\prime }(x)\ne 0$ לכל $x\in (a,b)$ , אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ .

$g(x)=x$ היא פונקציה רציפה וגזירה על כל הישר הממשי ונגזרתה לא מתאפסת אף פעם, לכן ניתן להשתמש עליה במשפט קושי ונקבל:

$$\frac{f^{\prime }(c)}{1}=\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

$◼$