הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט הערך הממוצע של קושי

משפט

תהיינה $f,g$ פונקציות רציפות בקטע הסגור $[a,b]$ , גזירות בקטע הפתוח $(a,b)$ ומתקיים $g^{\prime }(x)\ne 0$ לכל $x\in (a,b)$ .

אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ .

הוכחה

תהי $y(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))$ משוואת הישר העובר בנקודות $(g(a),f(a)),(g(b),f(b))$ , רציפה וגזירה בכל הקטע ונגזרתה קבועה $y^{\prime }(x)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ .

נגדיר פונקציה נוספת $h(x)=f(x)-y(x)$ , רציפה בקטע $[a,b]$ כ[[../../גבולות, סדרות ורציפות/רציפות/אריתמטיקה והרכבה של פונקציות רציפות#סכום והפרש של פונקציות רציפות|הפרש פונקציות רציפות]], גזירה בקטע $(a,b)$ כ[[../../גזירות/נגזרת של סכום והפרש פונקציות|הפרש פונקציות גזירות]] ומקיימת $h(a)=h(b)=0$ .

$h(x)$ מקיימת את שלושת תנאי [[../../גזירות/משפט רול|משפט רול]], לפיכך קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה $h^{\prime }(c)=0$ :

$$h^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-y^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g^{\prime }(c)=0\Rightarrow \frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

$◼$