הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נגזרת הפונקציה ההפוכה

משפט

אם $f$ הפיכה וגזירה בנקודה $x_0$ ומתקיים $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ , אזי הפונקציה ההפוכה $f^{-1}$ גזירה בנקודה $y_0=f(x_0)$ ונגזרתה היא $f^{-1^{\prime }}(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$ .

הוכחה

נשתמש בכלל השרשרת על הפונקציה $g(x)=f(f^{-1}(x))$ כדי למצוא את נגזרתה בנקודה $y_0$ ונקבל $g^{\prime }(y_0)=f^{\prime }(f^{-1}(y_0))\cdot f^{-1^{\prime }}(y_0)$ .

אבל $f(f^{-1}(x))=x$ ולכן $g^{\prime }(y_0)=1$ . כמו־כן $f^{-1}(y_0)=x_0$ . לפיכך נקבל $1=f^{\prime }(x_0)\cdot f^{-1^{\prime }}(y_0)$ .

נחלק ב־$f^{\prime }(x_0)$ ונקבל $f^{-1^{\prime }}(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$ .

$◼$