הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נגזרת פונקציה זוגית (אי-זוגית) היא פונקציה אי-זוגית (זוגית)

משפט

אם $f$ זוגית אז $f^{\prime }$ אי־זוגית. באופן דומה, אם $f$ אי־זוגית אז $f^{\prime }$ זוגית.

הוכחה ישירות מהגדרת הנגזרת

אם $f$ זוגית אז $f(x)=f(-x)$ . נחשב את נגזרתה בנקודה $-x$ לפי ההגדרה.

$$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(-x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x-h)-f(x)}{h}=-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x-h)-f(x)}{-h}=-\underset{y\to 0}{\lim }\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=-f^{\prime }(x)\end{array}$$

אם $f$ אי־זוגית אז $f(x)=-f(-x)$ . נחשב את נגזרתה בנקודה $-x$ לפי ההגדרה.

$$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(-x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-f(x-h)+f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x-h)-f(x)}{-h}=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{f(x+y)-f(x)}{y}=f^{\prime }(x)\end{array}$$

$◼$

הוכחה דרך כלל השרשרת

אם $f$ זוגית אז $f(x)=f(-x)$ . נגזור לפי כלל השרשרת ונקבל $f^{\prime }(x)=f^{\prime }(-x)\cdot (-1)=-f^{\prime }(-x)$ . לפיכך $f^{\prime }$ אי־זוגית.

אם $f$ אי־זוגית אז $f(x)=-f(-x)$ . נגזור לפי כלל השרשרת ונקבל $f^{\prime }(x)=-f^{\prime }(-x)\cdot (-1)=f^{\prime }(-x)$ . לפיכך $f^{\prime }$ זוגית.

$◼$