הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/נגזרת של מכפלת פונקציה בקבוע

משפט

אם $f(x)$ גזירה אזי $\frac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot \frac{d}{dx}f(x)$ .

הוכחה

נוכיח ישירות מהגדרת הנגזרת:

$$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}(c\cdot f(x))& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{c\cdot f(x+h)-c\cdot f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }c\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }c\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=c\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=c\cdot \frac{d}{dx}f(x)\end{array}$$