הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/שיוויון נגזרות בין פונקציות גורר שהפונקציות נבדלות בקבוע

משפט

אם $f,g$ גזירות בקטע $(a,b)$ ומתקיים $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)$ לכל $x\in (a,b)$ , אזי הפונקציות נבדלות בקבוע כלשהו, כלומר $f(x)=g(x)+c$ .

הוכחה

נגדיר $h(x)=f(x)-g(x)$ . על־פי הנתון מתקיים

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)=0$

[[../../גזירות/התאפסות הנגזרת גוררת שהפונקציה קבועה|התאפסות הנגזרת גוררת שהפונקציה קבועה]], ולכן $h(x)=f(x)-g(x)=c$ עבור $c\in ℝ$ כלשהו.

לכן $f(x)=g(x)+c$ .

$◼$