הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/התכנסות בהחלט גוררת התכנסות

משפט

טור מתכנס בהחלט הוא טור מתכנס.

הוכחה

נתבונן באי־השוויון הבא:

0 \leq a_{n} + | a_{n} | \leq 2 | a_{n} |

מכיון ש־ $| a_{n} |$ שווה ל־ $a_{n}$ או ל־ $- a_{n}$ . אם $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס בהחלט אז $\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ מתכנס, לכן גם $\sum_{n = 1}^{\infty} 2 | a_{n} |$ מתכנס.

על־פי [[../../טורים ומבחני התכנסות/מבחן ההשוואה|מבחן ההשוואה לטורים חיוביים]], מהתכנסות $\sum_{n = 1}^{\infty} 2 | a_{n} |$ נובעת התכנסות $\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + | a_{n} |)$ .

אזי $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} + | a_{n} |) - \sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |$ הוא הפרש של שני טורים מתכנסים וככזה, הוא טור מתכנס.

$◼$

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/התכנסות בהחלט גוררת התכנסות

תפריט ניווט

חיפוש