הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן אבל

משפט

תהי $a_n$ סדרה מונוטונית וחסומה, ויהי $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ טור מתכנס. אזי הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$ מתכנס.

הוכחה

נסמן $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a$ [[../../גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/פונ' חסומה ומונוטונית מקבלת גבול באינסוף|כי הסדרה הנ"ל מתכנסת]]. אז הסדרה $\{a_n-a{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ מונוטונית ושואפת ל־0.

הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ מתכנס, לכן בפרט [[../../גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/התכנסות סדרה גוררת חסימות|סדרת הסכומים החלקיים שלו חסומה]], כלומר קיים $M>0$ כך שלכל $N\in \mathbb{N}$ מתקיים $\left|\sum _{n=1}^N{b}_n\right|<M$ .

הסדרה $\{a_n-a{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ והטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$ מקיימים את תנאי [[../../טורים ומבחני התכנסות/מבחן דיריכלה|מבחן דיריכלה]], לכן הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n-a)b_n$ מתכנס.

ידוע לנו כעת שהטורים $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n-a)b_n$ מתכנסים, לכן מכללי אריתמטיקה של טורים נובע שגם מכפלתם בקבוע (למשל $a$) וכן סכומם מתכנסים. אבל:

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[(a_n-a)b_n+a\cdot b_n]=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n-a)b_n+a\cdot \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$$

$◼$