הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן דיריכלה

משפט

תהי $a_{n}$ סדרה מונוטונית שואפת ל־0 ותהי $b_{n}$ סדרה עבורה קיים $M > 0$ כך שלכל $N \in ℕ$ מתקיים $| \sum_{n = 1}^{N} b_{n} | < M$ .

אזי הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ מתכנס.

הוכחה

שלב א

תהי $B_{n} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$ סדרת הסכומים החלקיים של $b_{n}$ . אם נגדיר $B_{0} = 0$ נוכל לרשום לכל $n \in ℕ$

b_{n} = B_{n} - B_{n - 1}

ולכן

\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{N} a_{n} b_{n} & = \sum_{n = 1}^{N} a_{n} (B_{n} - B_{n - 1}) \\ = \sum_{n = 1}^{N} a_{n} B_{n} - \sum_{n = 1}^{N} a_{n} B_{n - 1} \\ = \sum_{n = 1}^{N} a_{n} B_{n} - \sum_{n = 0}^{N - 1} a_{n + 1} B_{n} : B_{0} = 0 \\ = \sum_{n = 1}^{N - 1} B_{n} (a_{n} - a_{n + 1}) + a_{N} B_{N} \end{matrix}

שלב ב

נניח ללא הגבלת הכלליות כי $a_{n}$ מונוטונית יורדת וחיובית, כלומר $a_{n} \geq a_{n + 1}$ . אנו רשאים לעשות כן, שכן אם $a_{n}$ מונוטונית עולה ושלילית, הרי הסדרה $- a_{n}$ היא מונוטונית יורדת וחיובית,

ואם $\sum_{n = 1}^{\infty} (- a_{n} b_{n})$ מתכנס, גם $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n} = - \sum_{n = 1}^{\infty} (- a_{n} b_{n})$ מתכנס, כי הוא כפל בקבוע של טור מתכנס.

כעת נוכיח שהטור $\sum_{n = 1}^{\infty} B_{n} (a_{n} - a_{n + 1})$ [[../../טורים ומבחני התכנסות/התכנסות בהחלט גוררת התכנסות|מתכנס בהחלט, ובפרט מתכנס]].

נתון כי $B_{n}$ חסומה, כלומר $\forall n \in ℕ : | B_{n} | < M$ . אזי לכל $N$ טבעי מתקיים

\begin{matrix} \sum_{n = 1}^{N} | B_{n} (a_{n} - a_{n + 1}) | & = \sum_{n = 1}^{N} | B_{n} | \cdot | a_{n} - a_{n + 1} | \\ < M \cdot \sum_{n = 1}^{N} | a_{n} - a_{n + 1} | \\ = M \cdot \sum_{n = 1}^{N} (a_{n} - a_{n + 1}) \\ = M (a_{1} - a_{N + 1}) \leq M \cdot a_{1} \end{matrix}

סדרת הסכומים החלקיים הזו חסומה ומונוטונית עולה, שכן כל אבריה אי־שליליים. לכן היא מתכנסת, כלומר $\sum_{n = 1}^{\infty} B_{n} (a_{n} - a_{n + 1})$ מתכנס בהחלט ובפרט מתכנס.

שלב ג

לפי [[../../גבולות, סדרות ורציפות/גבולות/כלל הסנדוויץ'|כלל הסנדוויץ']] לסדרות מתקיים

\begin{matrix} - M \cdot a_{n} \leq a_{n} B_{n} \leq M \cdot a_{n} \\ \lim_{n \to \infty} - M \cdot a_{n} = \lim_{n \to \infty} M \cdot a_{n} = 0 \\ \lim_{n \to \infty} a_{n} B_{n} = 0 \end{matrix}

שלב ד

נשוב לנוסחא בסוף שלב א, ונשתמש במסקנותינו משלבים ב ו־ג, ונקבל לפי אריתמטיקה של גבולות:

\lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} a_{n} b_{n} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N - 1} B_{n} (a_{n} - a_{n + 1}) + \lim_{n \to \infty} a_{n} B_{n}

$◼$

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן דיריכלה

תוכן עניינים

הוכחה

שלב א

שלב ב

שלב ג

שלב ד

תפריט ניווט

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן דיריכלה

הוכחה

שלב א

שלב ב

שלב ג

שלב ד

תפריט ניווט

חיפוש