הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/הוכחה

הקבוע המתמטי $\pi =3.141592\dots$ הוא מספר טרנסצנדנטי (או אי־אלגברי). כלומר אינו שורש של אף פולינום במקדמים רציונליים.

הוכחה

נניח בשלילה כי $\pi$ אלגברי, כלומר קיים פולינום

$P(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_d{z}^d\in \mathbb{Q}[z],(a_0\ne 0)$

עבורו $P(\pi )=0$.

א)

למה: אם $\pi$ אלגברי, אזי $\pi i$ אלגברי.

הוכחה: מתקיים כי

$\begin{array}{cc}P(\pm iz)& =a_0+a_1(\pm iz)+a_2(\pm iz{)}^2+\cdots +a_d(\pm iz{)}^d\\ & =(a_0-a_2{z}^2+\cdots )\pm (a_{1}z-a_3{z}^3+\cdots )i\end{array}$

לכן $\pi i$ שורש של הפולינום

$P(iz)P(-iz)=(a_0-a_2{z}^2+\cdots {)}^2+(a_{1}z-a_3{z}^3+\cdots {)}^2\in \mathbb{Q}[z]$

$◻$

לפיכך, קיים פולינום $P_1\in \mathbb{Q}[z]$ ממעלה $n$ בעל השורשים $z_1,\dots ,z_n$, כאשר $z_1=\pi i$.

על־פי זהות אוילר מתקיים כי ${\text{e}}^{\pi i}+1=0$. לכן:

$\begin{array}{cc}0& =({\text{e}}^{z_1}+1)({\text{e}}^{z_2}+1)\cdots ({\text{e}}^{z_n}+1)\\ & =\sum _{i=1}^n{\text{e}}^{z_i}+\sum _{1\le i_1<i_2\le n}{\text{e}}^{z_{i_1}}{\text{e}}^{z_{i_2}}+\sum _{1\le i_1<i_2<i_3\le n}{\text{e}}^{z_{i_1}}{\text{e}}^{z_{i_2}}{\text{e}}^{z_{i_3}}+\cdots +\sum _{1\le i_1<\cdots <i_n\le n}{\text{e}}^{z_{i_1}}\cdots {\text{e}}^{z_{i_n}}+1\\ & =\sum _{i=1}^n{\text{e}}^{z_i}+\sum _{1\le i_1<i_2\le n}{\text{e}}^{z_{i_1}+z_{i_2}}+\sum _{1\le i_1<i_2<i_3\le n}{\text{e}}^{z_{i_1}+z_{i_2}+z_{i_3}}+\cdots +{\text{e}}^{z_1+\cdots +z_n}+{\text{e}}^0\\ & =\sum _{i=1}^{2^n}{\text{e}}^{{\beta }_i}\end{array}$

המעריכים הם פולינומים סימטריים לפי $z_1,\dots ,z_n$, ומביניהם $1\le m\le 2^n-1$ סכומים שונים מ־0. כלומר:

${\text{e}}^{{\beta }_1}+\cdots +{\text{e}}^{{\beta }_m}+2^n-m=0$

כפי שלמדנו, לכל $0\le k\le n$ קיים פולינום מתוקן $P_k\in \mathbb{Q}[z]$ אשר שורשיו הם סכומי כל $k$ מבין השורשים $z_1,\dots ,z_n$. לפיכך:

$\begin{array}{cc}Q(z)& =P_0(z)P_1(z)\cdots P_n(z)\in \mathbb{Q}[z]\\ & =(z-{\beta }_1)\cdots (z-{\beta }_m)\cdots (z-{\beta }_{2^n})\\ & =z^{2^n-m}(z-{\beta }_1)\cdots (z-{\beta }_m)\end{array}$

לאחר צמצום נקבל כי:

$(z-{\beta }_1)\cdots (z-{\beta }_m)\in \mathbb{Q}[z]$

נכפיל במכנה המשותף המינימלי $b_m\in \mathbb{Z}$ של המקדמים הרציונליים, ונקבל פולינום מהצורה

$\begin{array}{cc}B(z)& =b_m(z-{\beta }_1)\cdots (z-{\beta }_m)\\ & =b_m{z}^m+b_{m-1}{z}^{m-1}+\cdots +b_{1}z+b_0\in \mathbb{Z}[z]\end{array}$

ב)

יהי $f(z)$ פולינום ממעלה $d$. נגדיר $F(z)=\sum _{j=0}^d{f}^{(j)}(z)$. נגזור ונקבל כי:

$F^{\prime }(z)=\sum _{j=0}^d{f}^{(j+1)}(z)=\sum _{j=1}^d{f}^{(j)}(z)=F(z)-f(z)$

נגדיר $G(z)={\text{e}}^{-z}F(z)$. נגזור ונקבל כי:

$G^{\prime }(z)={\text{e}}^{-z}{F}^{\prime }(z)-{\text{e}}^{-z}F(z)={\text{e}}^{-z}[F^{\prime }(z)-F(z)]=-{\text{e}}^{-z}f(z)$

על־פי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, מתקיים כי:

$\begin{array}{cc}G(z)-G(0)={\text{e}}^{-z}F(z)-{\text{e}}^{-0}F(0)& =-\underset{0}{\overset{z}{\int }}{\text{e}}^{-w}f(w)dw\\ F(z)-{\text{e}}^{z}F(0)& =-\underset{0}{\overset{z}{\int }}{\text{e}}^{z-w}f(w)dw\end{array}$

נסמן:

$F({\beta }_i)-{\text{e}}^{{\beta }_i}F(0)=-\underset{0}{\overset{{\beta }_i}{\int }}{\text{e}}^{{\beta }_i-w}f(w)dw=A_i$

נסכום ונקבל כי:

$\begin{array}{c}\sum _{i=1}^{m}F({\beta }_i)-\sum _{i=1}^m{\text{e}}^{{\beta }_i}F(0)=\sum _{i=1}^m{A}_i\\ \sum _{i=1}^{m}F({\beta }_i)-F(0)\sum _{i=1}^m{\text{e}}^{{\beta }_i}=\sum _{i=1}^m{A}_i\\ (2^n-m)F(0)+\sum _{i=1}^{m}F({\beta }_i)=\sum _{i=1}^m{A}_i\end{array}$

ג)

למה: יהי $f(z)$ פולינום בעל שורש $z_0$ מריבוי $d\ge 1$. אזי $f^{(j)}(z_0)=0$ לכל $0\le j\le d-1$.

הוכחה: באינדוקציה שלמה.

נרשום $f(z)=(z-z_0{)}^{d}Q(z)$, כאשר $Q(z)$ פולינום עבורו $Q(z_0)\ne 0$.

עבור $d=1$ מתקיים:

$f^{(0)}(z_0)=f(z_0)=0$

נניח כי לכל $1\le d\le k$ הטענה מתקיימת לכל $0\le j\le d-1$.תבנית:ש נוכיח כי עבור $d=k+1$ הטענה מתקיימת לכל $0\le j\le k$:

$\begin{array}{cc}f(z)& =(z-z_0{)}^{k+1}Q(z)\\ f^{(1)}(z)& =(k+1)(z-z_0{)}^{k}Q(z)+(z-z_0{)}^{k+1}{Q}^{(1)}(z)\\ & =(z-z_0{)}^k[(k+1)Q(z)+(z-z_0)Q^{(1)}(z)]\\ & =(z-z_0{)}^{k}R(z)\end{array}$

תבנית:צבע גופן מריבוי $k\ge 1$, כאשר $R(z)$ פולינום עבורו $R(z_0)\ne 0$.תבנית:ש לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה.

$◻$

ד)

עתה נגדיר:

$\begin{array}{cc}f(z)& =(b_m{)}^{c}g(z),(c=mp-1)\\ g(z)& =\frac{1}{(p-1)!}{z}^{p-1}[B(z){]}^p\\ & =\frac{(b_0{)}^p}{(p-1)!}{z}^{p-1}+\sum _{k=p}^{p+c}\frac{d_k}{(p-1)!}{z}^k,(d_k\in \mathbb{Z})\end{array}$

כאשר $p$ מספר ראשוני המקיים $p>\max \{b_0,b_m,2^n-m\}$. מתקיים כי:

$f^{(j)}(z)=(b_m{)}^c{g}^{(j)}(z)=(b_m{)}^c\sum _{k=j}^{p+c}\frac{j!}{(p-1)!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})d_k{z}^{k-j},(0\le j\le p+c)$

לכן לכל $j\ge p$ הפונקציה $f^{(j)}(z)$ היא פולינום במקדמים שלמים המתחלקים כולם ב־$p$.

לפי חלקים א ו־ג, מתקיים כי:

$\begin{array}{cc}N& =(2^n-m)F(0)+\sum _{i=1}^{m}F({\beta }_i)\\ & =(2^n-m)\sum _{j=0}^{p+c}{f}^{(j)}(0)+\sum _{i=1}^m\sum _{j=0}^{p+c}{f}^{(j)}({\beta }_i)\\ & =(2^n-m)\sum _{j=p-1}^{p+c}{f}^{(j)}(0)+\sum _{i=1}^m\sum _{j=p}^{p+c}{f}^{(j)}({\beta }_i)\\ & =(2^n-m)[f^{(p-1)}(0)+\sum _{j=p}^{p+c}{f}^{(j)}(0)]+\sum _{j=p}^{p+c}\sum _{i=1}^m{f}^{(j)}({\beta }_i)\\ & =(2^n-m)(b_0{)}^p(b_m{)}^c+(2^n-m)\sum _{j=p}^{p+c}{f}^{(j)}(0)+(b_m{)}^c\sum _{j=p}^{p+c}\sum _{i=1}^m{g}^{(j)}({\beta }_i)\end{array}$

תבנית:צבע גופן הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב־$p$.תבנית:ש תבנית:צבע גופן הוא מספר שלם המתחלק ב־$p$.תבנית:ש תבנית:צבע גופן הוא החלק החשוב ביותר:תבנית:ש על־פי נוסחאות ויאטה מתקיים כי

$E_k(\overrightarrow{\beta }{}^m)=(-1{)}^k\frac{b_{m-k}}{b_m}\in \mathbb{Q},(1\le k\le m)$

והסכומים הם פולינומים סימטריים לפי ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_m$. לכן אלה ניתנים להצגה כפולינומים

$\begin{array}{cc}\sum _{i=1}^m{g}^{(j)}({\beta }_i)& =G_j(\overrightarrow{E}{}^m(\overrightarrow{\beta }{}^m))\in 𝔽[\overrightarrow{\beta }{}^m]\\ & =\frac{a_j}{(b_m{)}^{c_j}},(a_j,c_j\in \mathbb{Z},c_j\ge 0)\\ (b_m{)}^c\sum _{j=p}^{p+c}\sum _{i=1}^m{g}^{(j)}({\beta }_i)& =(b_m{)}^c\sum _{j=p}^{p+c}\frac{a_j}{(b_m{)}^{c_j}}=\sum _{j=p}^{p+c}{a}_j(b_m{)}^{c-c_j}\end{array}$

ובנוסף מתקיים:

$\begin{array}{cc}\mathrm{deg}(g^{(j)})\le c& ⟹\mathrm{deg}(G_j)\le c,(p\le j\le p+c)\\ & ⟹0\le c_j\le c\\ & ⟹(b_m{)}^{c-c_j}\in \mathbb{Z}\end{array}$

לכן הביטוי הכחול גם הוא מספר שלם המתחלק ב־$p$.

מסקנה: $N$ הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב־$p$, ובפרט $N\ne 0$.

ה)

לפי חלק ב, על־פי אי־שוויון המשולש האינטגרלי מתקיים כי:

$\begin{array}{cc}|A_i|& =|\underset{0}{\overset{{\beta }_i}{\int }}{\text{e}}^{{\beta }_i-w}f(w)dw|\\ & \le \underset{0}{\overset{{\beta }_i}{\int }}\left|{\text{e}}^{{\beta }_i-w}\right||f(w)||dw|\\ & =\underset{0}{\overset{{\beta }_i}{\int }}\left|{\text{e}}^{{\beta }_i-w}\right|\left|\frac{(b_m{)}^c}{(p-1)!}{w}^{p-1}\right[B(w){]}^p||dw|\\ & =\underset{0}{\overset{{\beta }_i}{\int }}\frac{\left|{\text{e}}^{{\beta }_i-w}\right|}{|b_m|}\frac{|b_m{|}^{mp}|w{|}^{p-1}|B(w){|}^p}{(p-1)!}|dw|\end{array}$

על־פי אי־שוויון המשולש מתקיים כי:

$0<|N|=\left|\sum _{i=1}^m{A}_i\right|\le \sum _{i=1}^m|A_i|\le \sum _{i=1}^m\underset{0}{\overset{{\beta }_i}{\int }}\frac{\left|{\text{e}}^{{\beta }_i-w}\right|}{|b_m|}\frac{|b_m{|}^{mp}|w{|}^{p-1}|B(w){|}^p}{(p-1)!}|dw|$

אך לעומת זאת מתקיים כי

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{|b_m{|}^{mp}|w{|}^{p-1}|B(w){|}^p}{(p-1)!}=0,(w\in ℂ)$

כלומר עבור $p$ גדול מספיק מתקיים $0<|N|<1$. סתירה.

$◻$

מסקנה: $\pi i$ טרנסצנדנטי, ולכן $\pi$ טרנסצנדנטי.

$◼$