הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/פולינומים סימטריים

הגדרה 1

תמורה היא פונקציה חד־חד־ערכית ועל מקבוצה לעצמה.

תהי קבוצה סופית $X = {X_{1}, \dots, X_{n}}$ . הפונקציה $σ : X \to X$ תיקרא תמורה אם ורק אם היא חד־חד־ערכית ועל.

כלומר, לכל $1 \leq i \leq n$ קיים $1 \leq j \leq n$ יחיד עבורו $σ (X_{i}) = X_{σ (i)} = X_{j}$ .

קבוצת כל התמורות של אברי $X$ מסומנת $S_{X}$ .

דוגמא

עבור $X = {1, 2, 3}$ קיימות $3! = 6$ תמורות שונות:

\begin{matrix} σ_{1} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}], σ_{2} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix}] \\ σ_{3} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}], σ_{4} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix}] \\ σ_{5} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix}], σ_{6} = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

תבנית:ש באופן כללי, אם $| X | = n$ אזי $| S_{X} | = n! = 1 \cdot 2 \dots n$ .

הגדרה 2

יהי $F (\vec{X}^{n})$ פולינום. נגדיר:

σ (F) : = F (X_{σ (1)}, \dots, X_{σ (n)})

תכונות

יהיו $F (\vec{X}^{n}), G (\vec{X}^{n})$ פולינומים. אזי מתקיים:

$σ (c F) = c σ (F)$ כאשר $c \in ℝ$ .
$σ (F \pm G) = σ (F) \pm σ (G)$
$σ (F \cdot G) = σ (F) \cdot σ (G)$
$(σ_{1} \circ σ_{2}) (F) = σ_{1} (σ_{2} (F))$

הוכחה

מן ההגדרה, התמורה פועלת על אינדקסי המשתנים בלבד.
ראשית, נניח כי $F, G$ מונומים מהצורה

\begin{matrix} F & = a X_{1}^{a_{1}} \dots X_{n}^{a_{n}} \\ G & = b X_{1}^{b_{1}} \dots X_{n}^{b_{n}} \\ σ (F \pm G) & = σ (a X_{1}^{a_{1}} \dots X_{n}^{a_{n}} \pm b X_{1}^{b_{1}} \dots X_{n}^{b_{n}}) \\ = a X_{σ (1)}^{a_{1}} \dots X_{σ (n)}^{a_{n}} \pm b X_{σ (1)}^{b_{1}} \dots X_{σ (n)}^{b_{n}} \\ = σ (a X_{1}^{a_{1}} \dots X_{n}^{a_{n}}) \pm σ (b X_{1}^{b_{1}} \dots X_{n}^{b_{n}}) \\ = σ (F) \pm σ (G) \end{matrix}

נכליל באינדוקציה לגבי

F = \sum_{i_{1} = 1}^{k_{1}} F_{i_{1}}, G = \sum_{i_{2} = 1}^{k_{2}} G_{i_{2}}

, כאשר

F_{i_{1}}, G_{i_{2}}

מונומים.

כנ"ל, נניח כי $F, G$ מונומים מהצורה

\begin{matrix} F & = a X_{1}^{a_{1}} \dots X_{n}^{a_{n}} \\ G & = b X_{1}^{b_{1}} \dots X_{n}^{b_{n}} \\ σ (F \cdot G) & = σ (a X_{1}^{a_{1}} \dots X_{n}^{a_{n}} \cdot b X_{1}^{b_{1}} \dots X_{n}^{b_{n}}) \\ = a b σ (X_{1}^{a_{1} + b_{1}} \dots X_{n}^{a_{n} + b_{n}}) \\ = a b X_{σ (1)}^{a_{1} + b_{1}} \dots X_{σ (n)}^{a_{n} + b_{n}} \\ = (a X_{σ (1)}^{a_{1}} \dots X_{σ (n)}^{a_{n}}) \cdot (b X_{σ (1)}^{b_{1}} \dots X_{σ (n)}^{b_{n}}) \\ = σ (a X_{1}^{a_{1}} \dots X_{n}^{a_{n}}) \cdot σ (b X_{1}^{b_{1}} \dots X_{n}^{b_{n}}) \\ = σ (F) \cdot σ (G) \end{matrix}

כנ"ל, נכליל באינדוקציה לגבי

F = \sum_{i_{1} = 1}^{k_{1}} F_{i_{1}}, G = \sum_{i_{2} = 1}^{k_{2}} G_{i_{2}}

, כאשר

F_{i_{1}}, G_{i_{2}}

מונומים:

\begin{matrix} σ (F \cdot G) & = σ (\sum_{i_{1} = 1}^{k_{1}} F_{i_{1}} \cdot \sum_{i_{2} = 1}^{k_{2}} G_{i_{2}}) \\ = σ (\sum_{i_{1} = 1}^{k_{1}} \sum_{i_{2} = 1}^{k_{2}} F_{i_{1}} G_{i_{2}}) \\ = \sum_{i_{1} = 1}^{k_{1}} \sum_{i_{2} = 1}^{k_{2}} σ (F_{i_{1}} \cdot G_{i_{2}}) \\ = \sum_{i_{1} = 1}^{k_{1}} \sum_{i_{2} = 1}^{k_{2}} σ (F_{i_{1}}) \cdot σ (G_{i_{2}}) \\ = \sum_{i_{1} = 1}^{k_{1}} σ (F_{i_{1}}) \cdot \sum_{i_{2} = 1}^{k_{2}} σ (G_{i_{2}}) \\ = σ (\sum_{i_{1} = 1}^{k_{1}} F_{i_{1}}) \cdot σ (\sum_{i_{2} = 1}^{k_{2}} G_{i_{2}}) \\ = σ (F) \cdot σ (G) \end{matrix}

מן ההגדרה נקבל:

\begin{matrix} (σ_{1} \circ σ_{2}) (F) & = F (X_{(σ_{1} \circ σ_{2}) (1)}, \dots, X_{(σ_{1} \circ σ_{2}) (n)}) \\ = F (X_{σ_{1} (σ_{2} (1))}, \dots, X_{σ_{1} (σ_{2} (n))}) \\ = σ_{1} (F (X_{σ_{2} (1)}, \dots, X_{σ_{2} (n)})) \\ = σ_{1} (σ_{2} (F)) \end{matrix}

הגדרה 3

יהי $P (\vec{X}^{n})$ פולינום. אזי הוא נקרא פולינום סימטרי אם מתקיים

σ (P) = P

לכל תמורה $σ : {1, \dots, n} \to {1, \dots, n}$ .

דוגמאות

פולינום סימטרי:

\begin{matrix} P (x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}^{2} + 3 x_{1} + 3 x_{2} + 3 x_{3} \\ = x_{1}^{2} x_{3}^{2} x_{2}^{2} + 3 x_{1} + 3 x_{3} + 3 x_{2} \\ = x_{2}^{2} x_{1}^{2} x_{3}^{2} + 3 x_{2} + 3 x_{1} + 3 x_{3} \\ = x_{2}^{2} x_{3}^{2} x_{1}^{2} + 3 x_{2} + 3 x_{3} + 3 x_{1} \\ = x_{3}^{2} x_{1}^{2} x_{2}^{2} + 3 x_{3} + 3 x_{1} + 3 x_{2} \\ = x_{3}^{2} x_{2}^{2} x_{1}^{2} + 3 x_{3} + 3 x_{2} + 3 x_{1} \end{matrix}

פולינום אי־סימטרי:

\begin{matrix} P (x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = x_{1} + x_{2} - x_{3} \\ \neq x_{1} + x_{3} - x_{2} \\ \neq x_{2} + x_{1} - x_{3} \\ \neq x_{2} + x_{3} - x_{1} \\ \neq x_{3} + x_{1} - x_{2} \\ \neq x_{3} + x_{2} - x_{1} \end{matrix}

תכונות

סכום, הפרש ומכפלת פולינומים סימטריים הוא פולינום סימטרי.תבנית:ש
יהי $F$ פולינום במשתנים $Y_{1}, \dots, Y_{m}$ , ויהיו $G_{1}, \dots, G_{m}$ פולינומים סימטריים במשתנים $X_{1}, \dots, X_{n}$ .

אזי גם

F (\vec{G}^{m} (\vec{X}^{n}))

סימטרית במשתנים

X_{1}, \dots, X_{n}

.

הוכחה

נובע מן התכונות בהגדרה 2 ומהגדרת הפולינום הסימטרי לעיל.
מן ההגדרה מתקיים:

\begin{matrix} σ (F (\vec{G}^{m} (\vec{X}^{n}))) & = σ (F (G_{1} (\vec{X}^{n}), \dots, G_{m} (\vec{X}^{n}))) \\ = F (σ (G_{1} (\vec{X}^{n})), \dots, σ (G_{m} (\vec{X}^{n}))) \\ = F (G_{1} (\vec{X}^{n}), \dots, G_{m} (\vec{X}^{n})) \\ = F (\vec{G}^{m} (\vec{X}^{n})) \end{matrix}

תבנית:תוכן

הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/פולינומים סימטריים

תוכן עניינים

הגדרה 1

דוגמא

הגדרה 2

תכונות

הוכחה

הגדרה 3

דוגמאות

תכונות

הוכחה

תפריט ניווט

הוכחות מתמטיות/שונות/π מספר טרנסצנדנטי/פולינומים סימטריים

הגדרה 1

דוגמא

הגדרה 2

תכונות

הוכחה

הגדרה 3

דוגמאות

תכונות

הוכחה

תפריט ניווט

חיפוש