הוכחות מתמטיות/שונות/שורש 2

טענה

המספר $\sqrt{2}$ אינו רציונלי, כלומר $\sqrt{2}\in ̸\mathbb{Q}$ .

לשם כך ניעזר בלֶמה (משפט עזר):

למת עזר: אם n² זוגי אזי n זוגי

הוכחת הלמה:תבנית:ש מכפלת מספר זוגי במספר זוגי היא זוגית, בעוד שמכפלת מספר אי־זוגי במספר אי־זוגי היא אי־זוגית, ולכן אם מכפלת מספר בעצמו היא זוגית – המספר זוגי, ולהפך.

הוכחת הטענה

נניח בשלילה כי $\sqrt{2}\in \mathbb{Q}$ , כלומר רציונלי. לכן ניתן לכתוב $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ עבור $m,n\in \mathbb{Z}$ שלמים זרים כלשהם.

נעלה כעת את הביטוי בריבוע ונקבל

$\begin{array}{c}2={\left(\frac{m}{n}\right)}^2=\frac{m^2}{n^2}\\ 2n^2=m^2\end{array}$

לכן לפי הלמה הנ"ל נוכל לכתוב $m=2p$ עבור $p\in \mathbb{Z}$ . מכאן

$\begin{array}{c}2n^2=(2p{)}^2\\ 2n^2=4p^2\\ n^2=2p^2\end{array}$

לכן לפי הלמה הנ"ל נוכל גם לכתוב $n=2q$ עבור $q\in \mathbb{Z}$ . מכאן

$\begin{array}{c}(2q{)}^2=2p^2\\ 4q^2=2p^2\\ 2q^2=p^2\end{array}$

מכאן $m,n$ זוגיים בניגוד להנחה הראשונה כי שניהם זרים. סתירה!

לכן $\sqrt{2}$ אינו מספר רציונלי.

$◼$