הוכחות מתמטיות/תורת הקבוצות/איחוד קבוצות בנות מניה בן מניה

אם $𝐀 = {A_{n}}_{n \in ω}$ אוסף בן מניה של קבוצות סופיות או בנות מניה אז $⋃ 𝐀 = ⋃_{n \in ω} A_{n}$ גם סופית או בת מניה.

מסקנות של משפט זה:

הוכחה

נגדיר $B_{0} = A_{0}$ ולכל $n \in ω$ נגדיר $B_{n} = A_{n} ∖ ⋃_{k < n} B_{k}$ .

מובן כי הקבוצות החדשות הנן עדיין סופיות או בנות מניה, זרות בזוגות, וכי מתקיים $⋃_{n \in ω} B_{n} = ⋃ 𝐀$ לפי הבניה.

לכן לכל $n \in ω$ , לפי ההגדרה, קיימת פונקצייה חח"ע $φ_{n} : B_{n} \to ω$ .

לכל $n \in ω$ נגדיר $p_{n}$ כראשוני ה- $n$ הקטן ביותר (כלומר $p_{0} = 2, p_{1} = 3, p_{2} = 5, \dots$ ).

נגדיר פונקצייה חדשה $φ : ⋃ 𝐀 \to ω$ באופן הבא:

לכל $a \in ⋃ 𝐀$ מתקיים $a \in B_{n}$ עבור $n \in ω$ כלשהו, נגדיר: $φ (a) = p_{n}^{φ_{n} (a) + 1}$ .

$φ$ הנה בברור חח"ע, ולכן $⋃ 𝐀$ סופית או בת מניה גם כן.