הסתברות/חוק המספרים הגדולים

חוק המספרים הגדולים עוסק בממוצע של תוצאות ניסויים (מדגמים) רבים.

חוק המספרים הגדולים החלש

כלומר המשפט קובע כי הממוצע מתכנס-בהסתברות לתוחלת.

בדומה, לגבי הפונקציה האופיינית נגדיר: תבנית:מבנה תבנית

נפגוש מושג זה בפיתוח משפט הגבול המרכזי.

הוכחה

על פי אי שוויון צ'בישב:

$0\le \mathbb{P}(|\frac{S_n}{n}-\mu |>\delta )\le \frac{Var\left(\frac{S_n}{n}\right)}{{\delta }^2}=\frac{{\sigma }^2}{{\delta }^{2}n}$

ולכן:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\mathbb{P}(|\frac{S_n}{n}-\mu |>\delta )=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }^2}{{\delta }^{2}n}=0$

חוק המספרים הגדולים החזק

המשפט מתקיים גם אם לא מדובר במ"מ מפולגים זהה, ובלבד שיש להם אותה תוחלת ושסדרת השונויות מקיימת את תנאי קולמוגורוב: הטור $\sum \frac{V(X_n)}{n^2}$ מתכנס.

שימו לב כי מהחוק החזק ניתן להסיק את החוק החלש, וכי החוק החזק עצמו הוא גרסה חלשה של משפט הגבול המרכזי.

הוכחה

(להשלים)

דוגמאות

• תהי X_i סדרת מ"מ בתמ"ז בעלי פונקצית ההתפלגות:

$F_{X_i}(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ \frac{1}{2}+\frac{x^2}{2},& 0\le x<1\\ 1,& x\ge 1\end{array}$.

עבור איזה ערך של a מתקיים:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\mathbb{P}(|\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i}{n}-a|>ϵ)=0$ ..?

פתרון:שימו לב כי פונקצית ההתפלגות אינה רציפה ובעלת קפיצה בגודל 0.5 בראשית. ואם אכן נגזור ללא זהירות על מנת לקבל את פונקצית הצפיפות, אינטגרציה בתחום תתן 0.5 בלבד, כך שיחד עם הקפיצה מקבלים 1. כעת, על פי כלל המספרים הגדולים, a הוא התוחלת של X_i. נשתמש בהגדרה החלופית של התוחלת, עבור מ"מ חיובי:

$𝔼X_i=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1-F_X(x))dx=\frac{1}{3}$

שימו לב כי אינטגרציה על פני $x{f}_X^c(x)$ הייתה נותנת גם כן שליש, מכיוון שעל פי הגדרת התוחלת עבור מ"מ בדיד, $𝔼X^d=\sum x\mathbb{P}(X=x)$, אבל מאחר והקפיצה היא בראשית, התרומה שלה לחישוב התוחלת מתבטלת.