הסתברות/מבוא/המודל ההסתברותי/תרגילים

הסתברות המאורע הריק

הראה כי הסתברות המאורע הריק היא 0, כלומר $\mathbb{P}(\varnothing )=0$.

פונקציית ההסתברות של קבוצת כדורים בעלי הסתברות הנדסית דועכת

נניח קבוצה אינסופית (בת מניה) של כדורים בעלי מספרים $0,1,2,\dots$ , בה הסיכוי שייבחר הכדור ה- $k$ הוא $\mathbb{P}(k)=p{q}^k$ .

1. מה צריכים לקיים $p$ ו- $q$ כדי שההסתברות תהיה תקינה?
2. מה הסיכוי להגרלת כדור זוגי?

בחירת אנשים מקבוצת גברים ונשים

תבנית:בעבודה דוגמא זו ממחישה כי כאשר מדובר בבחירה מקרית ובמרחב מדגם סימטרי, ההסתברות מתנהגת כמו פרופורציה. נניח כי בקבוצה $G$ של אנשים יש $M=9$ גברים ו- $W=11$ נשים. מכאן, אחוז הגברים בקבוצה הוא $\frac{M}{M+W}=0.45=45\mathrm{\%}$ ולכן הסיכוי לבחור מקרית גבר מן הקבוצה הוא 45%. באופן דומה, אחוז הנשים הוא 55%. במקרה הנידון: $\mathrm{\Omega }=\{W_1,W_2,\dots ,W_{11},M_1,M_2,\dots ,M_9\},|\mathrm{\Omega }|=20$ כך שההסתברות לבחור אדם ספציפי מן הקבוצה היא $\frac{1}{20}$ .

נבחן כעת דוגמא אחרת: בוחרים באופן מקרי 3 אנשים מתוך הקבוצה. הבחירה היא ללא חזרות וללא חשיבות לסדר, כי מדובר בבני אדם. נרצה לדעת כמה אפשרויות (צירופים) כאלה קיימות. במקרה זה:

$\mathrm{\Omega }=\{(W_1,W_2,W_3),(W_1,W_2,W_4),(W_1,W_2,W_5),\dots ,(W_1,W_2,M_1),(W_1,W_2,M_2),\dots$

$(M_1,M_2,M_3),(M_1,M_2,M_4),\dots ,(M_7,M_8,M_9)\}$

או בקיצור:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{3})=\frac{20!}{3!17!}=1140,|\mathrm{\Omega }|=1140$

1. מה הסיכוי ששלושתם גברים?תבנית:שמספר האפשרויות לבחור 3 גברים: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3})=84$ ולכן $\mathbb{P}(A_{M=3})=\frac{84}{1140}=\frac{7}{95}\approx 7\mathrm{\%}$ .תבנית:שאו בקיצור: $\mathbb{P}(A_{M=3})=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{3})}=\frac{7}{95}$ .
2. מה הסיכוי שייבחר אדם ספציפי מתוך ה-3?תבנית:שבכך קבענו מראש את אחד האנשים ולכן יש לבחור עוד 2. מספר האפשרויות לבחור 2 אנשים מתוך 20-1=19 הוא $(\genfrac{}{}{0ex}{}{19}{2})=171$ ולכן $\mathbb{P}(A_i)=\frac{171}{1140}=0.15$ .תבנית:שדרך אחרת: $\mathbb{P}(A_i)=\frac{1}{20}+\frac{19}{20}\cdot \frac{1}{19}+\frac{19}{20}\cdot \frac{18}{19}\cdot \frac{1}{18}=\frac{3}{20}=0.15$ .