הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים/התפלגות פואסון

הגדרה

אינטואיטיבית, התפלגות זאת היא קירוב של התפלגות בינומית, המופיעה לעתים קרובות בטבע.

מוטיבציה

בהתפלגות בינומית, ראינו כי בניסויי ברנולי, הסיכוי להצלחת $k$ ניסויים מתוך $n$, כאשר הסיכוי להצלחה יחידה הוא $p$, הנו

$\mathbb{P}(x=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

בעטי הפונקציה הקומבינטורית $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$, מדובר בפונקציה לא נוחה לשימוש.

השוואה בין התפלגות בינומית להתפלגויות פואסון המקרבות אותה.

במציאות, ישנם מצבים רבים בהם $n$ ו-$p$ במידה שמכפלתם, $np$, היא בינונית בגודלה. במקרים אלה, נראה שאפשר לשערך את הביטוי

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{q}^{n-k}\simeq \frac{{\left(pn\right)}^k{e}^{-pn}}{k!}$

בתרשים התחתון משמאל לדוגמה, הנקודות השחורות מתארות התפלגות פואסון עם $n=1000,\lambda =5$.

הקו האדום מתאר התפלגות בינומית עם $n=10,p=0.005$,

הקו הכחול מתאר התפלגות בינומית עם $n=20,p=0.005$,

והקו הירוק מתאר התפלגות בינומית עם $n=1000,p=0.005$,

תבנית:משפט

דוגמאות

• מספר האלקטרונים הנפלטים בפרק זמן כלשהו מקתודה, מהווה בקירוב טוב מ"מ פואסוני. נגדיר את X כמספר האלקטרונים הנפלטים במשך שעה בעל התפלגות פואסונית עם פרמטר λ=3.

• מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט אלקטרון אחד בלבד? נשתמש בהגדרת פונקצית ההסתברות הפואסונית:

$\mathbb{P}(X=k)=e^{-3}\frac{3^k}{k!}\Rightarrow \mathbb{P}(X=1)=3e^{-3}\approx 0.15$

• מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט לפחות אלקטרון אחד? נשתמש בשיטת המשלים:

$\mathbb{P}(X\ge 1)=1-\mathbb{P}(X<1)=1-\mathbb{P}(X=0)=1-e^{-3}=\frac{e^3-1}{e^3}\approx 0.95$

• מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלטו לכל היותר 2 אלקטרונים? זהו סכום של מאורעות זרים:

$\mathbb{P}(X\le 2)=\sum _{k=0}^2\mathbb{P}(X=k)=e^{-3}(\frac{3^0}{0!}+\frac{3^1}{1!}+\frac{3^2}{2!})=\frac{17}{2e^3}\approx 0.42$