הסתברות/פונקציה אופיינית

שימו לב כי זוהי התמרת פורייה (הפוכה) של פונקציית הצפיפות (PDF).

תכונות

• φ מוגדרת וסופית לכל s ממשי כי $|e^{isX}|=1$.
• שיוויון של פונקציות אופייניות גורר שוויון של פונקציות התפלגות, כלומר: $F_X=F_Y⟺{\varphi }_X(s)={\varphi }_Y(s)$.
• ${\varphi }_X(0)=1$
• ${\varphi }_{aX+b}(s)=e^{isb}{\varphi }_X(as)$
• אם X,Y ב"ת אז התמרה של קונבולוציה היא מכפלת ההתמרות: ${\varphi }_{X+Y}(s)={\varphi }_X(s){\varphi }_Y(s)$.
• בדומה לפונקציה יוצרת המומנטים, גם באמצעות הפונקציה האופיינית ניתן לקבל את המומנטים: אם ל-$|X{|}^k$ יש תוחלת סופית אז ${\varphi }_X^{(k)}(0)=i^k𝔼X^k=i^k{m}_k$.
• אם ידועים כל המומנטים ניתן לקבל את הפונקציה האופיינית באמצעות טור מתאים: $𝔼e^{isX}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(is{)}^k}{k!}𝔼X^k$. זאת, פרט למקרים פתולוגיים מסוימים בהם סדרת המומנטים גדלה מהר מדי. דוגמה לכך היא ההתפלגות הלוג-נורמלית.
• במקרים פתולוגיים מסויימים, הפונקציה האופיינית אינה מגדירה חד משמעית את חוק ההסתברות.