הסתברות/פונקציות של וקטורים אקראיים

תוחלת של טרנספורמציה

תכונות

• תוחלת של סכום היא תמיד סכום התוחלות (כאשר הן קיימות): $𝔼(X+Y)=𝔼X+𝔼Y$.
• עבור מ"מ בלתי-תלויים, תוחלת של מכפלה היא מכפלת התוחלות: $𝔼XY=𝔼X𝔼Y$.

דוגמאות

• יהיו X,Y מ"מ בלתי תלויים. נתון כי $𝔼X<\mathrm{\infty },𝔼Y<\mathrm{\infty }$. הוכח כי $𝔼XY=𝔼X𝔼Y$.

פתרון: נשתמש בהגדרת התוחלת ואז (בזכות אי התלות) נפרק את פונקצית הצפיפות המשותפת לפונקציות הצפיפות השוליות:

$𝔼XY=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xy{f}_{X,Y}(x,y)dxdy=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_X(x)y{f}_Y(y)dxdy=$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_X(x)dx\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}y{f}_Y(y)dy=𝔼X𝔼Y$

• יהיו X,Y ו"א בלתי תלויים כך ש- $X,Y\sim U[0,1]$. מהי התוחלת ומהי השונות של שטח המלבן הנוצר על ידי הנקודות (X,Y),(0,0)?

פתרון: נגדיר $S=XY$ כשטח המלבן ואז:

$𝔼S=𝔼(XY)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}xy{f}_X(x)f_Y(y)dxdy=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{f}_X(x)dx\underset{0}{\overset{1}{\int }}y{f}_Y(y)dy=𝔼X𝔼Y=\frac{1}{4}$

שימו לב כי קיבלנו שהמשתנים בלתי תלויים, אבל זה לא מפתיע כי הקטעים המגדירים את התחום מקבילים לצירים.

כעת נחשב את השונות:

$VarS=𝔼S^2-(𝔼S{)}^2=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^2{y}^{2}dxdy-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{9}-\frac{1}{16}=\frac{7}{144}$