הסתברות/קווריאנס ומקדם המתאם

דוגמאות

• לשפופרת אלקטרונים אורך חיים T מעריכי עם פרמטר λ. בזמן זה, השפופרת פולטת מספר אלקטרונים N פואסוני עם פרמטר cT.

בשאלה זו נשתמש גם במומנט השני של מ"מ מעריכי: $\frac{2}{{\lambda }^2}$ ובמומנט השני של מ"מ פואסוני: $cT+c^2{T}^2$.

• מהי תוחלת מספר האלקטרונים?

מנוסחת ההחלקה: $𝔼N=𝔼(𝔼N|T)=𝔼(cT)=\frac{c}{\lambda }$

• מהי השונות של מספר האלקטרונים?

על פי הגדרת השונות: ${\sigma }_N^2=VarN=𝔼N^2-(𝔼N{)}^2$

$𝔼N^2=𝔼(𝔼(N^2|T)=𝔼(cT+c^2{T}^2)=\frac{c}{\lambda }+\frac{2c^2}{{\lambda }^2}$

שני השיוויונות האחרונים התבצעו על ידי שימוש במומנט ה-2 של N ושל T.

• מהו הקווריאנס בין N,T ..?

על פי הגדרת הקווריאנס: $Cov(N,T)=𝔼(NT)-𝔼N𝔼T$

$𝔼(NT)=𝔼(𝔼(NT|T))=𝔼(T𝔼(N|T))=𝔼(c{T}^2)=\frac{2c}{{\lambda }^2}$

השיוויון האחרון התבצע על ידי הצבת המומנט השני של T.

• מהו מקדם המתאם בין N,T ..?

${\rho }_{N,T}=\frac{Cov(N,T)}{{\sigma }_N{\sigma }_T}=\frac{\frac{c}{{\lambda }^2}}{\sqrt{\frac{c}{\lambda }+\frac{c^2}{{\lambda }^2}}\sqrt{\frac{1}{{\lambda }^2}}}=\frac{c}{\sqrt{c\lambda +c^2}}$