הסתברות/תוחלת ומומנטים/פונקציה יוצרת מומנטים

שימו לב כי הפונקציה יוצרת המומנטים היא התמרת לפלאס של הצפיפות.

תכונות

• $M_X(0)=1$
• אם M גזירה k פעמים בסביבת s=0 וב-s=0 עצמה אז: $M_X^{(k)}(0)=𝔼X^k$.

דוגמה

יהי X מ"מ. מהו X אם ידוע כי קיימת סביבה $-\delta <s<\delta$ עבורה הפונקציה יוצרת המומנטים לינארית?

פתרון: נניח כי $M_X(s)=as+b$ באותה סביבה. אז:

$M_X(0)=1\Rightarrow b=1$

$𝔼X={M_X}^{\prime }(0)=a$

$𝔼X^2={M_X}^{″}(0)=0$

כעת ניזכר כי השונות חייבת להיות חיובית ואז:

$0\le VarX=𝔼X^2-(𝔼X{)}^2=-a^2\Rightarrow a=0\Rightarrow VarX=0$

כלומר קיבלנו שהשונות היא אפס (כלומר מדובר במשתנה מקרי מנוון) והתוחלת היא אפס, לכן X מקבל ערך יחיד (0) בהסתברות 1.