הסתברות/iid

סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ומפולגים זהה

אוסף של משתנים מקריים אשר לכל אחד מהם פונקצית הסתברות זהה, והם בלתי-תלויים, נקרא "סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ומפולגים זהה" - בתמ"ז (iid - independent and identically distributed).

כאשר מניחים שתצפית כלשהי היא סדרת מ"מ בתמ"ז, הטיפול המתמטי פשוט יותר, אך במקרים רבים הנחה זו אינה מציאותית.

אם למשל נגדיר את X_i בתור תוצאת הרולטה ה-i-ית, מבחינה מעשית X_i הם בתמ"ז, כי בכל סיבוב הסיכוי של כל מספר הוא זהה, ואין שום תלות בתוצאה שהתקבלה בכל הניסויים הקודמים.

סכום של מ"מ בתמ"ז

הסכום הנ"ל הוא למעשה קונבולוציה n פעמים.

1. התוחלת של S_n:
   מלינאריות התוחלת: $𝔼S_n=𝔼\sum _{i=1}^n{X}_i=\sum _{i=1}^n𝔼X_i=n\mu$
2. השונות של S_n:
   עקב אי-תלות: $Var(S_n)=Var\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}Var(X_i)=n{\sigma }^2$
3. התוחלת של הממוצע $\frac{S_n}{n}$:
   מלינאריות התוחלת: $𝔼\frac{S_n}{n}=\frac{𝔼S_n}{n}=\frac{n\mu }{n}=\mu$
4. השונות של הממוצע $\frac{S_n}{n}$:
   עקב אי-תלות: $Var\left(\frac{S_n}{n}\right)=\frac{Var(S_n)}{n^2}=\frac{n{\sigma }^2}{n^2}=\frac{{\sigma }^2}{n}$

שימו לב כי ככל ש-n גדל, השונות הולכת וקטנה פי n אך μ נשאר אותו הדבר. במילים אחרות, עבור n-ים גדולים, הממוצע רגיש פחות ופחות לשינויים.

דוגמאות

• הפילוג המעריכי מהווה קירוב טוב לזמן חיים של נורה. אם $X_i\sim Exp(\lambda )$ הוא זמן החיים של הנורה ה-i-ית, אז $S_n\sim \mathrm{\Gamma }(n,\lambda )$ הוא התפלגות זמן החיים של n הנורות הראשונות.

(להשלים: עוד דוגמאות)