חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פעולות אריתמטיות על קבוצות

איחוד (Unification)

נתונות הקבוצות $A,B$ . האיחוד ביניהן יסומן כך:

$C=A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}$

כלומר הקבוצה $C$ מורכבת מכל האברים בקבוצה $A$ ומכל האברים בקבוצה $B$ .

• נשים לב לשימוש בכַּמָּת "או": מספיק שאבר יקיים רק אחד מהתנאים (במקרה שלנו: מספיק שאבר ישתייך רק לאחת מהקבוצות $A$ או $B$) על־מנת להיות בקבוצה $C$ .
• ניתן להגדיר איחוד של מספר קבוצות: $A\cup B\cup C\cup \cdots$ וכו'. ואז, הקבוצה החדשה תכיל את כל האברים של כל הקבוצות.
• אם $I$ קבוצת אינדקסים (למשל: קבוצה עם $n$ אינדקסים), נוכל להגדיר איחוד בין הקבוצות $A_i$ (כלומר $A$ עם אינדקס $i$) באופן הבא:

$A_{i_1}\cup \cdots \cup A_{i_n}=\bigcup _{i\in I}{A}_i$

• עבור $C=A\cup B$ מתקיים: $A\subseteq C$ וגם $B\subseteq C$ .
• לכל קבוצה $A$ מתקיים:

$A\cup A=A,A\cup \varnothing =A$

• דוגמא: נתון $A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}$ . אזי $A\cup B=\{1,2,3,4\}$ .
• דוגמא נוספת, כמובטח למעלה: את קבוצת המספרים השלמים $\mathbb{Z}$ נוכל לכתוב באופן הבא, במונחים של איחוד קבוצות: $\mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup -\mathbb{N}$ , כאשר $-\mathbb{N}$ פירושו: $-\mathbb{N}=\{-1\times n:n\in \mathbb{N}\}$ .

חיתוך (Intersection)

נתונות הקבוצות $A,B$ . החיתוך ביניהן יסומן כך:

$C=A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$

כלומר הקבוצה $C$ מורכבת מהאברים שנמצאים גם בקבוצה $A$ וגם בקבוצה $B$ .

• נשים לב לשימוש בכַּמָּת "וגם": על אבר כלשהו להשתייך הן לקבוצה $A$ והן לקבוצה $B$ על־מנת להיות בקבוצה $C$ .
• ניתן להגדיר חיתוך של מספר קבוצות: $A\cap B\cap C\cap \cdots$ . ואז, הקבוצה החדשה תכיל רק את האברים המשותפים לכל הקבוצות.
• אם $I$ קבוצת אינדקסים (למשל: קבוצה עם $n$ אינדקסים), נוכל להגדיר חיתוך בין הקבוצות $A_i$ (כלומר $A$ עם אינדקס $i$) באופן הבא:

$A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_n}=\bigcap _{i\in I}{A}_i$

• עבור $C=A\cap B$ מתקיים: $C\subseteq A$ וגם $C\subseteq B$ .
• לכל קבוצה $A$ מתקיים:

$A\cap A=A,A\cap \varnothing =\varnothing$

• דוגמא: נתון $A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}$ . אזי $A\cap B=\{2,3\}$ .

חיסור בין קבוצות

לכל שתי קבוצות $A,B$ נוכל להגדיר את פעולת החיסור באופן הבא: $C=A-B=A\mathrm{\setminus }B=\{x\in A|x\in ̸B\}$ כלומר, הקבוצה $C$ מכילה את כל אברי $A$ שאינם נמצאים בקבוצה $B$ .

• עבור $C=A\mathrm{\setminus }B$ , מתקיים: $C\subseteq A$ .
• לכל קבוצה $A$ , מתקיים: $A=A\mathrm{\setminus }\mathrm{\varnothing }$ .
• דוגמא: נתון $A=\{1,2,3\},B=\{2,3,4\}$ . אזי $A\mathrm{\setminus }B=\{1\}$ .
• חשוב: לא להתבלבל בין סימן חיסור הקבוצות $\mathrm{\setminus }$ לבין הסימן $/$ (שמשמש, לרוב, לסימון חילוק, או בקורסים אחרים לסימון מחלקות שקילות)!!! המשמעות של כל אחד מהסימנים שונה לחלוטין!
• שימו לב, שבניגוד לסימנים שראינו עד כה, כאן הסדר כן משנה. כלומר, מתקיים: $A\cup B=B\cup A$ , וכן $A\cap B=B\cap A$ . לעומת זאת, לרוב $A\mathrm{\setminus }B\ne B\mathrm{\setminus }A$ .

שוויון בין קבוצות

מאחר והגדרנו קבוצה כאוסף של אברים, אנו נבדיל בין הקבוצות לפי האברים שלהן. כלומר, הביטוי "$A=B$" ייכתב באופן הבא: $x\in A⟺x\in B$ .

• דוגמא חשובה: נתונות הקבוצות $B=\{1,2\},A=\{1,2,2\}$ . אזי: $B=A$ . (ודאו שהנכם מבינים מדוע)
• לכל קבוצה $A$ מתקיים: $A=A$ (תכונת הרפלקסיביות). ניתן לכתוב תכונה זו גם באופן הבא: $x\in A⟺x\in A$ .
• תכונת הטרנזיטיביות: $(A=B)\wedge (B=C)\Rightarrow (A=C)$ . תכונה זו, כמו גם התכונה הקודמת שצוינה, הנה ברורה ודומה כי מיותר לציינה. לדברים שהם ברורים קוראים במתמטיקה "דברים טריוויאלים".