חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קטעים

תבנית:חשבון אינפיניטסימלי נתונים $a,b\in ℝ:a\le b$ . אז נוכל להגדיר בעזרתם את הקטעים הבאים:

• קטע פתוח: $(a,b)=\{x\in ℝ|a<x<b\}$ , כלומר כל ה- $x$-ים ב- $ℝ$ (כל המספרים הממשיים המקיימים את התנאי) הגדולים ממש מ- $a$ והקטנים ממש מ- $b$ .
• קטע סגור: $[a,b]=\{x\in ℝ|a\le x\le b\}$ , כלומר כל ה- $x$-ים ב- $ℝ$ הגדולים מ- $a$ או שווים לו והקטנים מ- $b$ או שווים לו.
• קטעים חצי-פתוחים וחצי-סגורים:

$(a,b]=\{x\in ℝ|a<x\le b\},[a,b)=\{x\in ℝ|a\le x<b\}$

• בצורה דומה נסמן קרניים:

$[a,\mathrm{\infty })=\{x\in ℝ|x\ge a\},(a,\mathrm{\infty })=\{x\in ℝ|x>a\}$

$(-\mathrm{\infty },b)=\{x\in ℝ|x<b\},(-\mathrm{\infty },b]=\{x\in ℝ|x\le b\}$

בכל ההגדרות הללו, כפי שנראה בהמשך, ישנה חשיבות רבה להבחנה בין $<$ ו- $\le$ .

• דוגמאות חשובות:

$[a,a]=a,(a,a)=\varnothing ,(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })=ℝ$ .

הלמה של קנטור

משפט חשוב בנושא קטעים הוא הלמה של קנטור (מהמילה Lemma). הלמה אומרת:תבנית:ש תהי סדרה אינסופית של קטעים סגורים מהצורה $[a_n,b_n]$ כך ש- $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:a_n<a_{n+1}<b_{n+1}<b_n$ אזי $\mathrm{\exists }c\in ℝ:\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n,b_n]=\{c\}$ .תבנית:ש כלומר, אם ניקח אינסוף קטעים סגורים המוכלים אחד בשני (ואף קטע לא שווה לקודמו), אז קיימת נקודה שנמצאת בחיתוך של כל הקטעים והיא הנקודה היחידה.