חשבון אינפיניטסימלי/נגזרת/נגזרת של פונקציה הפיכה

דף זה עוד בכתיבה. ביכולתכם להוסיף לדף זה!

תהי $f$ פונקציה מונוטונית ורציפה בקטע $I$ , ותהי $x_0$ נקודה פנימית בקטע זה. נסמן $y_0=f(x_0)$ .

אם $f$ גזירה ב- $x_0$ , ואם $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ , אז הפונקציה ההופכית של $f$ , שנסמנה $g$ , גזירה ב- $y_0$ ונגזרתה היא: $g^{\prime }(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$

הוכחה:

על פי הגדרת הפונקציה ההופכית מתקיים $g(y)=x\Rightarrow g(f(x))=x$.

כעת נגזור את שני האגפים ונקבל:

$g^{\prime }(y)\cdot f^{\prime }(x)=1\Rightarrow g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

דוגמאות

• הנגזרת של הפונקציה $f(x)=\sqrt{x}$ היא $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ (הגדרנו את הפונקציה כפונקציה הופכית של הפונקציה $y^2$)
• הנגזרת של הפונקציה $f(x)=2x+1$ היא $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$ (הגדרנו את הפונקציה כפונקציה הופכית של הפונקציה $\frac{y-1}{2}$)