חשבון אינפיניטסימלי/סדרות/סדרות חסומות

סדרות חסומות

ישנן סוגים רבים של סדרות שניתן לחשוב עליהן, אך בפרק זה אנחנו נשים דגש מיוחד בתכונות של סדרות מסוימות, סדרות שכל אבריהן גדולים או קטנים ממספרים ממשיים כלשהם ונשים לב לתכונות המיוחדות שלהן. אך ראשית, מספר דוגמאות.

דוגמאות

• נסתכל על הסדרה $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ . קל לראות (וכן להוכיח) שאברי הסדרה הזו תמיד קטנים או שווים ל- $1$ ותמיד גדולים מ- $0$ (בכלל, יותר גדולים מכל מספר אי-חיובי כלשהו).
• אברי הסדרה ${\{1+\frac{1}{n^2}\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ תמיד גדולים או שווים ל- $1$ ותמיד תמיד קטנים או שווים מ- $2$ .

באופן פורמלי, אלו ההגדרות של סדרות חסומות:

לפי ההגדרה הזו, נוכל לומר שבדוגמא הראשונה 2 הוא חסם מללעיל של הסדרה. תבנית:מבנה תבנית לפי ההגדרה הזו, נוכל לומר שבדוגמא הראשונה 1 הוא חסם מלרע של הסדרה. תבנית:מבנה תבנית

משפטים

הוכחה זו מאוד פשוטה ולכן רצוי שהקורא ינסה לעשות אותה בעצמו ורק אם יתקשה עליו להסתכל בהוכחה למטה.