חשבון אינפיניטסימלי/סימן הסכימה/הוכחה - סכום מספרים אי זוגיים

משפט:: סכום מספרים אי-זוגיים ((Defines the sum of odd integers) : $\sum _{i=1}^{n}2i-1=n^2$

הוכחה

בדיקה: $\sum _{i=1}^{1}2i-1=2-1=1\iff 1^2$

נניח כי הטענה נכונה לכל מספר טבעי :$\sum _{i=1}^{n}2i-1=n^2$

נוכיח נכונותה: $\begin{array}{c}\sum _{i=1}^{n+1}2i-1=(n+1{)}^2\\ \sum _{i=1}^{n}2i-1+[2(n+1)-1]=(n+1{)}^2\\ \underset{n^2}{\underbrace{\sum _{i=1}^{n}2i-1}}+2(n+1)-1=(n+1{)}^2\\ n^2+2(n+1)-1=(n+1{)}^2\\ n^2+2n+2-1=(n+1{)}^2\end{array}$

$\begin{array}{c}\sum _{i=1}^{n}2i-1=n^2\end{array}$