חשבון אינפיניטסימלי/סימן הסכימה/הוכחה - סכום ריבועים

משפט: סכום ריבועים (Square pyramidal number) הינו $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

הוכחה:

בסיס: $\sum _{k=1}^1{k}^2=\frac{1(1+1)(2+1)}{6}$

מכיוון ראשון, $\sum _{k=1}^1{k}^2=1^2=1$

מכיוון שני, $\frac{1(1+1)(2+1)}{6}=\frac{6}{6}=1$

נניח כי הטענה נכונה לכל $n$ :$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

נוכיח את נכונותה לכל $n+1$: $\sum _{k=1}^{n+1}{k}^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+2+1)}{6}$

מכיוון אחד, $\sum _{k=1}^{n+1}{k}^2=\sum _{k=1}^n{k}^2+(n+1{)}^2$

על פי הנחת האינדוקציה $\underset{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\underbrace{\sum _{k=1}^n{k}^2}}+(n+1{)}^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+2+1)}{6}$

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1{)}^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+2+1)}{6}$

$n(n+1)(2n+1)+6(n^2+2n+1)=(n^2+2n+n+2)(2n+3)$

$n(2n^2+3n+1)+6n^2+12n+6=2n^3+3n^2+4n^2+6n+2n^2+3n+4n+6$

$2n^3+3n^2+n+6n^2+12n+6=2n^3+3n^2+4n^2+6n+2n^2+3n+4n+6$

$n+6n^2+12n=4n^2+6n+2n^2+3n+4n$