מבנים אלגבריים/חבורות/חבורות חשובות

מספרים

שלמים

החבורה עליה מדובר היא החבורה $(\mathbb{Z},+)$ עם האיבר הנייטרלי $0$ והחיבור הוא החיבור המוכר לכולנו של חיבור שלמים. ההוכחה שזו אכן חבורה נובעת מההגדרה של החיבור על השלמים והאקסיומות של פאנו, לא נזכיר אותה בפרק זה.

רציונלים

החבורה $(\mathbb{Q},+)$ עם האיבר הנייטרלי $0$.

ממשיים

החבורה $(ℝ,+)$ עם האיבר הנייטרלי $0$.

שלמים מודולו n

יהיו $a,n\in \mathbb{N}$. נחלק את $a$ ב־$n$, ואת השארית נסמן $a_{modn}$.

לכל $a,b\in \mathbb{N}$ נסמן $a{+}_{n}b=(a+b{)}_{modn}$.

לכל $n\in \mathbb{N}$ נסמן ${\mathbb{Z}}_n=\{x\in \mathbb{N}:x\le n\}=\{0,\dots ,n-1\}$.

החבורה $({\mathbb{Z}}_n,{+}_n)$ עם האיבר הנייטרלי $0$ נקראת החבורה מודולו n.

פונקציות

חבורת התמורות על קבוצה כלשהי (חבורת הסימטריה)

תהי $X$ קבוצה. נסמן ב$S_X$ את קבוצת הפונקציות $f:X\to X$ החד-חד-ערכיות ועל.

החבורה $(S_X,\circ )$ עם איבר היחידה $I$ נקראת חבורת הסימטריה על $X$.

חבורת התמורות על קבוצה סופית

אם $X$ קבוצה סופית שמספר איבריה $|X|=n$, אז ניתן להראות באינדוקציה כי $|S_X|=n!$. את חבורת הסימטריה על הקבוצה ${\mathbb{Z}}_n$ נהוג לסמן $S_n$.