מבנים אלגבריים/חבורות/מחלקות (קוסטים)

תבנית:מבנים אלגבריים כל ניסיון לתת אינטואיציה לרעיון של מחלקות (COSET בלועזית) של חבורה נועד לכשלון מלכתחילה. המבנה של מחלקות נותן לנו אפשרות, בהינתן תת-חבורה, לנתח את מבנה החבורה "מתוך" התת־חבורה הזו. האינטואיציה המופשטת של הרעיון הזה תתבהר ככל שנתקדם בפרק.

אלא אם כן נאמר אחרת, בפרק זה נדון בחבורה $(G,*)$ כפלית כלשהיא.

הגדרה ודוגמאות

נתחיל את הפרק בהגדרה יבשה:

דוגמאות

• נסתכל על החבורה $(\mathbb{Q},+)$. אזי מחלקה שמאלית של $\mathbb{Z}$ לדוגמה תהיה:

$\frac{1}{2}+\mathbb{Z}=\{\frac{1}{2}+n:n\in \mathbb{Z}\}$

יחס השקילות מודולו

כעת נכליל את המושג של שיוויון מודולו במספרים שלמים לחבורות כלליות. זהו הצעד הראשון בדרך להכליל את המספרים השלמים ואת תכונת החלוקה שלהם.

הגיע הזמן להצדיק את השימוש במונח "שקילות" ולהוכיח שאכן, זהו יחס שקילות: (אם הקורא רוצה להיזכר ביחסי שקילות מומלץ לו לעבור על הפרק יחסים)

תבנית:מבנה תבנית

תבנית:הוכחה

תבנית:מבנה תבנית

תבנית:הוכחה

כפי שהוכחנו לעיל, היחס שקילות מודולו עבור ח"ח כלשהי הוא יחס שקילות. מכאן, שניתן לדבר גם על מחלקות השקילות של אותו יחס.

המשפט הבא ייתן לנו אפיון מלא של מחלקות השקילות האלה: תבנית:משפט

מכאן, לפי התכונות של מחלקות שקילות, נוכל להסיק בנקל את הטענה הבאה: תבנית:טענה

האינדקס של תת-חבורה

תבנית:מבנה תבנית ובאופן אנאלוגי: תבנית:מבנה תבנית

כעת נראה שההגדרה השנייה היא מיותרת: תבנית:משפט

משפט לגרנז'

עד כה עסקנו בתכונות בסיסיות של חבורות שנובעות ישירות מההגדרות שנתנו. הגיע הזמן לצפות ברעיונות המעניינים שנחשפים בפנינו ובהשלכות המדהימות שלהן. אחד מהן הוא משפט לגרנז' שכבר מתחיל לרמוז לנו על הקשר המיוחד שיש בין מבנים אלגבריים לתורת המספרים.

אך לפני שנוכל לדון במשפט לגרנז' נזדקק לטענת עזר הבאה.

תבנית:מבנה תבנית

תבנית:הוכחה

כעת אנחנו מוכנים להוכחה המרכזית של הפרק הזה. תבנית:משפט

מסקנה מעניינת ממשפט לגרנז' היא:(ההוכחה מאוד טריבאלית ונשענת על הטענות מהפרק הקודם)

כמו כן, אחת מהתוצאות המפתיעות של משפט לגרנז' היא: תבנית:טענה

מסקנה מעניינת בתורת המספרים היא המשפט הבא: תבנית:משפט