מבנים אלגבריים/חבורות/תכונות בסיסיות

תבנית:מבנים אלגבריים בפרק זה נתמקד בכמה תכונות בסיסיות של החבורה שנובעות ישירות מההגדרה שלה. תכונות אלו ישמשו אותנו בהמשך כשנחקור את המבנה של החבורה יותר לעומק. למען הפשטות, נשתמש בסעיף זה בסימונים של חבורה חיבורית, את האנלוגיה למקרה של חבורה כפלית ניתן לעשות בקלות בעזרת הסימונים שראינו בפרק הקודם.

יחידות

הטענה הבאה, למרות שנראית לנו מאוד אינטואטיבית וכמעט ברורה מאליה דורשת הוכחה. הרבה דברים שנראים לנו מאוד אינטואטיביים והגיוניים בפרק זה לאו דווקא יהיו נכונים, ולכן אנו נדאג להוכיח הכל בזהירות ובבהירות תוך כדי הסתמכות על האקסיומות של החבורה.

כפי שנאמר גם בסעיף ההקדמה לפרק זה, את הנגדי היחידי של איבר $a\in G$ נסמן מעתה ואילך $-a\in G$.

צמצום ופתרון משוואות בחבורה

הטענות הבאות נועדו בעיקר כדי לעזור לנו בפעולות "אלגבריות" שונות על ביטויים שהאיברים והפעולה בהם שייכים לחבורה כלשהיא.

באופן אנלוגי, הקורא יוכל להוכיח בעצמו את הטענה הבאה: תבנית:טענה

הסיבה שיש צורך בטענה 4' היא שחבורה כללית היא לאו דווקא קומוטטיבית (כפי שראינו בדוגמאות בסעיף הקודם) ובמקרים כאלו צמצום משמאל לא יגרור צמצום מימין.

פעולות איטרטיביות

בחלק זה נשתמש בהגדרה הבאה: $$\begin{array}{c}\mathrm{\forall }a\in G:0\cdot a:=0_G\\ \mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:n\cdot a:=(n-1)\cdot a+a\\ \mathrm{\forall }a\in G\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}:(-n)\cdot a:=n\cdot (-a)\end{array}$$ בצורה זו, הגדרנו כפל של מספר שלם באיברי החבורה. באופן אנלוגי נוכל להעביר כתיב זה לכתיב של חבורה כפלית כאשר שם יסומן $n\cdot a=a^n$.

הוכחת הטענות הבאות יושארו לקורא בתור התרגיל: (את רובן אפשר להוכיח בקלות בעזרת אינדוקציה)