מבנים אלגבריים/חבורות/תת-חבורות

תבנית:מבנים אלגבריים לאחר שדנו בתכונות הבסיסיות של חבורות וראינו מספר דוגמאות לחבורות, הגיע הזמן שנדבר על מה קורה כשיש חבורה "בתוך" חבורה. כלומר, בהינתן חבורה $G$ עם פעולה בינארית $*$ ובהינתן $H\subseteq G$ נרצה לשאול, האם גם $H$ היא חבורה עם הפעולה הבינארית של $G$? בפרק זה נדון בתנאים שמבטיחים שאכן $H$ תהיה חבורה ובתכונות של חבורות כאלה, שבאופן טבעי נקראות תת-חבורות.

הגדרה ודוגמאות

תבנית:מבנה תבנית ההגדרה הזו היא אמנם ההגדרה הפורמלית של תת־חבורה, אבל לא רצוי להשתמש בה כדי להוכיח שתת־קבוצה היא גם תת־חבורה, שכן זה ידרוש מאיתנו לבדוק שכל האקסיומות של חבורה מתקיימות עבור $H$. הטענה הבאה תראה שנחוצה לנו הרבה פחות עבודה.

הטענה הבאה היא פשוט ונשאירה לקורא כתרגיל: תבנית:טענה הטענה הבאה תראה לנו שעוד פחות עבודה נחוצה לנו כדי להוכיח שתת־קבוצה היא תת־חבורה: תבנית:טענה תבנית:הוכחה

קבוצות יוצרות ותת־חבורות ציקליות

חבורה חלקית ציקלית

בסעיף זה נשים לב לתת־חבורות מאוד מיוחדות שמשחקות תפקיד חשוב בחקר של המבנה של החבורה.

תהי $G$ חבורה. יהי $a\in G$ איבר כלשהוא בחבורה. נסתכל על הקבוצה: $$⟨a⟩=\{a^n:n\in \mathbb{Z}\}$$ קבוצה זו מוגדרת היטב לפי ההגדרה בפרק הקודם.

קל לראות שקבוצה זו היא תת־חבורה של $G$ (הקורא יכול להוכיח זאת כתרגיל). תת־חבורה זו נקראת תת־חבורה ציקלית של $G$ הנוצרת ע"י $a$ או בקיצור תת־חבורה ציקלית הנוצרת ע"י $a$.

דוגמאות

1. נסתכל על $\mathbb{Z}$ עם פעולת החיבור וניקח את האיבר 1, אזי קל לראות שמתקיים $\mathbb{Z}=⟨1⟩=⟨-1⟩$. לכן החבורה $\mathbb{Z}$ היא חבורה ציקלית.

קבוצה יוצרת

תהי $W\subseteq G$ (לאו דווקא תת־חבורה) נשאל, מהי התת־החבורה הקטנה ביותר המכילה את $W$? כדי לענות על שאלה זו ביעילות נרשום ראשית מספר הגדרות: $$\begin{array}{c}{S}_0=W\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{S}_{n+1}=\{x^{k_1}{y}^{k_2}:x,y\in S_n,k_1,k_2\in \mathbb{Z}\}\end{array}$$

כמו במקרה של חבורה ציקלית גם כאן נגדיר:

סדר של חבורה וסדר של איבר בחבורה

בסעיף ה נשים דגש מיוחד על חבורות סופיות, אלו הן חבורות שמספר האיברים שלהן הוא סופי.

דוגמאות

כעת נוכיח משפט מעניין הנוגע לחבורות ציקליות ולסדר של איבר: תבנית:משפט

טענות אלו נובעות בנקל מהמשפט לעיל: