משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת הנקל

התמרת הנקל יכולה להיות סופית או אינסופית. פונקצית הגרעין בהתמרת הנקל היא פונקצית בסל כלשהי:

$\mathscr{H}[f(x)]=F(p)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)J_n(px)\mathrm{d}x$

השיטה

השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה, כלומר שמתקיים, לדוגמה:

$\mathscr{H}\left[\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{{\partial }^{2}t}\right]=\underset{0}{\overset{l}{\int }}\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{{\partial }^{2}t}x{J}_0\left(\frac{{\lambda }_{n}x}{l}\right)\mathrm{d}x=\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{t}^2}\underset{0}{\overset{l}{\int }}u(x,t)J_0\left(\frac{{\lambda }_{n}x}{l}\right)\mathrm{d}x=\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}U(t)}{\mathrm{d}{t}^2}$

דוגמאות

בעיית גלים חד-ממדית בקוארדינטות קוטביות

נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:

$\{\begin{array}{c}\frac{1}{c^2}{u}_{tt}=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{u}_r),0\le r\le a\\ u(r,0)=u_t(r,0)=0\\ u(a,t)=g(t)\end{array}$

בעיה זו מתאימה לדוגמה עבור תנודות סימטריות בממברנה מעגלית.

נפעיל התמרת הנקל סופית (כי הבעיה נתונה בתחום סופי) על המשתנה r (כי הבעיה מתוחמת ב-r) עם פונקצית בסל מסדר 0:

$\frac{1}{c^2}\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{{\partial }^{2}u(x,t)}{\partial t^2}r{J}_0\left(\frac{{\lambda }_{n}r}{a}\right)\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{u}_r)r{J}_0\left(\frac{{\lambda }_{n}r}{a}\right)\mathrm{d}r$

(כאן λ_n הם האפסים של פונקצית בסל, כך שבביטוי לעיל היא מתאפסת בקצה התחום כי r=a שם)

כך שמתקבל:

$\frac{1}{c^2}{U}_{tt}=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{\partial }{\partial r}(r{u}_r)J_0\left(\frac{{\lambda }_{n}r}{a}\right)\mathrm{d}r$

אינטגרציה בחלקים פעמיים של אגף ימין ושימוש בזהויות

$J_0^{\prime }(r)=-J_1(r),\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left[r\frac{\mathrm{d}{J}_0(kr)}{\mathrm{d}r}\right]=-k^{2}r{J}_0(kr)$

תביא למד"ר הבאה:

$U_{tt}+{\left(\frac{{\lambda }_{n}c}{a}\right)}^{2}U=\frac{{\lambda }_n{c}^2}{a}{J}_1({\lambda }_n)g(t)$

(להסביר מדוע מופיע האינקס n)

פתרון בערת פונקצית גרין יתן את הביטוי הבא:

$U_n(t)=ac{J}_1({\lambda }_n)\underset{0}{\overset{t}{\int }}g(t-\tau )\sin \left(\frac{{\lambda }_{n}c\tau }{a}\right)\mathrm{d}\tau$

על מנת לקבל את הפתרון במישור הזמן יש לבצע התמרה הפוכה ע"י טור בסל-פורייה.

ההתמרה ההפוכה מתקבלת על ידי פיתוח לטור שנקרא טור בסל-פורייה:

$u(r,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(t)J_0\left(\frac{{\lambda }_{n}r}{a}\right)$

כאשר המקדמים a_n נתונים על ידי:

$a_n=\frac{2}{a^2{J}_1^2({\lambda }_n)}{U}_n(t)$

נקבל:

$u(r,t)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2c}{a{J}_1({\lambda }_n)}{J}_0\left(\frac{{\lambda }_{n}r}{a}\right)\underset{0}{\overset{t}{\int }}g(t-\tau )\sin \left(\frac{{\lambda }_{n}c\tau }{a}\right)\mathrm{d}\tau$